Виктор Сорокин писал(а):Когда исчерпаны все разумные попытки, остается думать неразумно.
Прошу у читателей прощения за задержку. Зато надеюсь порадовать результатом.
Суть найденного противоречия: числа a, b, c НЕ взаимно простые.
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Итак, допустим, что
(1°) a^n+b^n = c^n, где простое n >2, a, b, c взаимно простые, [d=] c+a>c+b>a+b>c>a>b>u >0, a+b>2u (u=a+b-c).
Тогда, как известно,
(2°) (a+b)R-(c-b)P-(c-a)Q=0, где
(3°) R=a^{n-1}+… + ab^{n-2}+ b^{n-1},
P=c^{n-1}+… + cb^{n-2}+ b^{n-1},
(3a) Q=c^{n-1}+…+(ca)^{(n-1)/2}+… + ca^{n-2}+ a^{n-1}=(c+a)^2T+(ca)^{(n-1)/2}, c+a=d (обозначение). [Но: Q=(c-a)^2q плюс минус n(ca)^{(n-1)/2}].
Доказательство
Рассмотрим числа R, P, Q в базе d [d=c+a] (нас интересуют только остатки по модулю d, или последние цифры).
Поскольку – как следует из 3°, – число R-P делится на d, то
(4°) R=rd+e, P=pd+e, где d>e>0.
А из 3a° мы видим, что
(5°) Q=qd+(ca)^{(n-1)/2}.
С помощью умножения равенства 1° на некоторое число в степени n числа e и (ca)^{(n-1)/2} легко преобразуются в 1 (что будет показано в следующий раз – дабы дать возможность любителям головоломок попытаться самим сообразить, как это делается).
Ну а затем на однозначных окончаниях в равенстве 2° мы приходим либо к равенству
(a+b)-2(c-b)=0, либо к равенству a+b=0, что противоречит 1°.