Любителям писать программы посвящается...
Добавлено: Чт, 22 янв 2004, 1:47
RAS
Предлагается задача для тех, кто любит писать программы (и при этом, думать)
.
* * *
Ферма заметил, что в множестве {1,3,8,120} произведение любых двух чисел, увеличенное на 1, т. е. числа 1*3+1, 1*8+1, 1*120+1, 3*8+1, 3*120+1 и 8*120+1 -точные квадраты. Существуют ли другие такие замечательные множества целых чисел?
Определение. Множество попарно различных целых ненулевых чисел {a[1], a[2], ..., a[n]} называется P(t)-множеством, если n не меньше 2, и для любой пары различных элементов a[i] и a[j] этого множества число a[i]*a[j]+t является квадратом целого числа. Число n называется длиной P(t)-множества, t - его параметром.
Замечание. Вопрос о P(0) -множествах не представляется авторам достаточно интересным, поэтому в дальнейшем будем считать, что параметр отличен от нуля. (Действительно, любое множество из n различных точных квадратов является P(0) -множеством.)
Предлагается найти P(t)-множество как можно большей длины.
Авторам сайта известны много P(t) множеств длины 4, несколько P(t) множеств длины 5. Поэтому большой интерес, конечно, представляют P(t)-множества длины 6 и более.
Сразу хочу предупредить, что все не так просто, как кажется.
Могу от своего имени пообещать, что все те, кто достигнут значительных результатов в решении этой задачи, получат призы (предупреждаю сразу: на вопросы о том, что это за приз, отвечать не буду).
Дерзайте!
Re: Любителям писать программы посвящается...
Добавлено: Чт, 22 янв 2004, 2:52
RAS
Влад писал(а):Почему-то вспоминается 45 интернат...
Наверное потому, что там делался доклад на эту тему.
Re: Любителям писать программы посвящается...
Добавлено: Сб, 24 янв 2004, 17:04
PSP
RAS писал(а):Влад писал(а):Почему-то вспоминается 45 интернат...
Наверное потому, что там делался доклад на эту тему.
Простор здесь есть не только для тех, кто умеет писать программы.
Тут просто залежи для математических открытий!
Лужские школьники, обучающиеся в группах "Коллективный ученик Заочной математической школы (ЗМШ)", которыми я руковожу, принимали активное участие в ежегодно проводимых до недавнего времени слётах юных любителей науки. На них съезжались группы „Коллективный ученик” Северо-Западного округа России и Прибалтики. В 1999 г. на слёте была представлена и защищена научная работа Светланы Павловой, Александра Рыжкова, Алексея Шубакова „Исследования вопроса о P(t) – множествах”, научным руководителем которой я являлся.
Рассмотренными объектами - теми самыми P(t)-множествами - начинал заниматься ещё великий Л. Эйлер. Но непосредственной причиной написания работы послужила статья в американском журнале „Quantum” (март-апрель 1991 г.), в которой американский студент похвалился результатами проведённых им в этой области исследованиями. Нам показалось, что мы можем превзойти американского собрата по разуму.
Так и вышло! Школьники получили результаты, куда более сильные, чем у заокеанского студента. Представительное жюри после изучение работы приняло решение о присуждении названным выше школьникам гран-при – награды, не вручаемой уже многие годы.
Есть что вспомнить...
Re: Любителям писать программы посвящается...
Добавлено: Ср, 04 фев 2004, 9:39
PSP
RAS писал(а):Предлагается задача для тех, кто любит писать программы (и при этом, думать)
.
* * *
Дерзайте!
Дерзающие пока не замечены...
Похоже, надпись
"Любителям писать программы посвящается" придётся делать на мраморной плите...
Добавлено: Сб, 14 фев 2004, 23:33
Yaroslav
А у того студента какая макс. длина множества была?
Добавлено: Вс, 15 фев 2004, 17:50
PSP
Yaroslav писал(а):А у тего студента какая макс длина множества была?
Студент 2-го курса Стэнфордского университета Вамси Мууфа обнаружил
P(
t)-множество при
t = -299 длиной 5. Лужские школьники С. Павлова, А. Рыжков, А. Шубаков нашли ещё шесть
P(
t)-множеств (при различных значениях
t ), каждое из которых имело длину 5.
Добавлено: Ср, 06 июл 2005, 10:49
maxal
я тоже парочку нашел:
t=400:
4, 21, 69, 125, 384
t=576:
5, 20, 77, 189, 512
Добавлено: Чт, 07 июл 2005, 9:24
maxal
Вот еще насчиталось длины 5. Длины 6 пока найти не удается.
t=400:
4, 21, 69, 125, 384
t=576:
5, 20, 77, 189, 512
t=1296:
11, 35, 128, 243, 315
t=1309:
2, 30, 106, 186, 270
t=1600:
8, 42, 138, 250, 768
t=1885:
6, 154, 266, 834, 2046
t=1989:
14, 74, 198, 350, 530
t=2304:
10, 40, 154, 378, 1024
t=-255:
8, 32, 77, 203, 528
t=2961:
4, 72, 130, 820, 1612
t=-299:
14, 22, 30, 42, 90
t=3600:
12, 63, 207, 375, 1152
t=-455:
8, 72, 102, 148, 492
t=-476:
20, 31, 75, 96, 192
t=-731:
6, 122, 126, 490, 1110
t=-819:
18, 58, 106, 190, 310
t=-880:
13, 85, 128, 413, 868
t=-1020:
16, 64, 154, 406, 1056
t=-1088:
12, 99, 112, 411
t=-1196:
28, 44, 60, 84, 180
t=-1200:
25, 48, 73, 217, 532
t=-1344:
33, 41, 68, 80, 185
t=-1600:
13, 125, 148, 400, 533
t=-1820:
16, 144, 204, 296, 984
t=-1904:
36, 93, 128, 205, 645
t=-2295:
24, 96, 231, 609, 1584
t=-2448:
52, 81, 217, 297, 1012
t=-2639:
48, 68, 90, 220, 276
t=-2691:
42, 66, 90, 126, 270
t=-2835:
18, 158, 170, 638, 1458
t=-3276:
36, 116, 212, 380, 620
t=-3519:
56, 65, 80, 143, 360
t=-3520:
43, 112, 512, 1088, 1547
t=-3696:
37, 100, 141, 256, 445
t=-4095:
24, 216, 306, 444, 1476
Re: Любителям писать программы посвящается...
Добавлено: Чт, 07 июн 2007, 11:56
RAS
maxale писал(а):RAS писал(а):Поэтому большой интерес, конечно, представляют P(t)-множества длины 6 и более.
Таких множеств не существует. См. теорему 2.1
тут.
Насколько я понял, в этой теореме речь идёт про P(1)-множества...
Добавлено: Чт, 07 июн 2007, 12:57
maxale
Опс, память подвела.
Действительно, в теореме 2.1 речь идет о P(1)-множествах. Результаты же о P(t)-множествах в общем виде представлены в
разделе 3. Но аналога теоремы 2.1 там нет. Так что, вопрос о существовании больших P(t)-множеств по-прежнему открыт.