Математика школьная и олимпиадная

[PSP]

Отделять одну от другой - занятие бесполезное и даже вредное.
Где начинается так называемая олимпиадность? Вряд ли кто-нибудь сумеет провести границу. Да и нужно ли это?
Наши предки не делили математику. И мы не будем.
Успехов всем, кто ценит эту древнейшую науку и хочет её познать! vПодробнее...

[PSP]

Решили в Ленинградской области провести олимпиаду (назовём её областной) по математике,
Позвали на неё 6-классников, которые показал лучшие результаты на муниципальных (районных, если по-русски) турах олимпиады.

Давайте посмотрим на результаты.
Ниже указаны 6-классники, их результат на областной (О) олимпиадеи на муниципальной (Мун), и на областной олимпиаде (Обл) было
по 6 задач, за которые можно было набрать 42 балла (каждая задача оценивалась 7 баллами).

Волченкова Маргарита: Мун – 15 из 42, Обл – 14 из 42.
Фетько Константин: Мун – 17 из 42, Обл – 9 из 42.
Боднар Максим: Мун – 24 из 42, Обл – 7 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Фетько Глеб: Мун – 19 из 42, Обл – 6 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Фёдоров Олег: Мун – 24 из 42, Обл – 5 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Алексеева Варвара: Мун – 21 из 42, Обл – 4 из 42 (полностью не решена ни одна задача).

Предвижу реплику: «Наверное, на областной олимпиаде задачи были очень сложые». Однако, участник из Кировского района набрал 32 балла,из Всеволожского – 30, из Выборгского – 28, ещё один из Вс6енволожского и из Выборгского – по 25, …

Почему же лужане с высокими баллами, полученными в Луге на муниципальном этапе, столь слабо выступили
на областной олимпиаде? Ответ давно дал известный исторический персонаж: «... важно, как подсчитывают!»

Путь вниз проще, чем наверх.
Не стоит только забывать, что, карабкаясь вверх, мы оказываемся на вершине, а быстро мчась вниз – в канаве.

[PSP]

МОЖНО и НЕЛЬЗЯ

Довольно часто встречаются в математике задачи, вопрос в которых звучит так:
«Можно ли …?», «Существует ли…?», «Будет ли…?» и т. п.

В плохих школьных учебниках таких вопросов, как правило, нет.
И нередко школьники, «воспитанные» дурными учебниками,
прочитав такой вопрос, пишут: «Можно», «Существуют», «Будет»,
или «Нельзя», «Не существует», «Не будет»
полагая, что они решили задачу. Нет, не решили, а написали только ответ!

В чём же заключается РЕШЕНИЕ подобных задач?

Если ответ «Можно», то необходимо объяснить, как именно
(или привести число с указанным свойством, или изобразить фигуру)
И, возможно, объяснить, почему число или фигура описанным свойствам
удовлетворяет (когда это, конечно, не очевидно).

А если ответ «Нельзя», то никакое количество примеров ничего не докажет.
Ведь нельзя же доказать отсутствие физ-мат лицея в Луге
примерами школ №№ 2, 3. 4, 5, 6 (вдруг физ-мат лицей находится
не в помещении одной из школ!).
Необходимо ДОКАЗАТЬ, что такого числа или фигуры нет.

В ряде задач легко придумать пример и трудно доказать его отсутствие.
В других – нетрудно доказать отсутствие чего-то и очень трудно придумать пример.
Бывает, что проблема и в одном, и в другом.
История математики знает случаи, когда математики всего мира
не могли ни при мер придумать, ни доказать невозможность чего-то.

[PSP]

МЕТОД ОТ ПРОТИВНОГО

Это один из самых популярных, если не самый популярный
метод доказательства в математике, известный задолго до наших дней.
Хотя этому методу и много-много веков, нередко можно встретить школьника,
который то называет его методом от обратного, а то вообще не знает, что это такое.
Встречаются «юмористы», которые говорят, что противное – это неприличное.
Но в математике нет приличного и неприличного – есть истина, есть ложь.

Пусть нам надо доказать теорему: «Если F, то G» (F и G –некоторые утверждения.
Допустим, мы хотим доказать, что если сумма двух чисел чётна, то они
либо оба чётные, либо оба нечётные. Предположим противное.
То есть пусть это не так. Теперь самое сложное! Что значит, что это не так?
Сообразите, что это означает вот что: среди этих чисел есть чётное и есть нечёное.
Это и будет противным утверждением.
Итак, из этих двух чисел одно чётное, другое – нечётное.
Но тогда их сумма - число нечётное, что противоречит условию, в котором
сказано, что сумма этих чисел чётна. Получили противоречие. А это значит, что
то, что мы предположили (а мы предположили, что утверждение неверно),
является ложью. Следовательно, утверждение верно. Доказано!

Зачастую самым трудным в методе от противного заключается формулировка
противного утверждения, т. е. продолжение фразы «Пусть это не так, тогда…».
И часто при этом делаются ошибки.
Вот один из способов проверки: надо подумать, а бывает ли так, что и само утверждение,
и противное ему – ложны, или они оба – истинны. И если бывает, это рзначает,
что противное утвержлдение сформулировано неверно.
Потому что если само утверждение истинно, то противное – ложно,
а если само ложно, то противное – истинно. Такое полезное «заклинание»!

Вот несколько упражнений на составление противного утверждения.
Ниже приведены 10 утверждений. Сформулируйте противные им утверждения.
1) Оба числа кратны 3.
2) Нет числа, кратного нулю.
3) Все натуральные числа кратны единице.
4) Нет квадрата числа, который оканчивается на 2, 3, 7 или 8.
5) Все кошки чёрные.
6) Не все попугаи говорят по-английски.
7) Из любых 4 квадратов можно сложить квадрат.
8 ) Есть число, квадрат которого оканчивается на 45.
9) Сумма любых двух чисел больше каждого из чисел.
10) Нет месяца, котором сумма его номера и количества его дней – простое число.

[PSP]

РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ (часть 1)

Это серия задач о событиях на острове, который населяют два племени:,
рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Встречаются варианты: эльфы и тролли, ещё что-то, что подскажет фантазия автора.
И место действия может быть иным – например, круглый стол.
Мы не будем мудрствовать, назовём их по классике: рыцари и лжецы.
Зачастую есть ещё один герой истории под именем приезжий – это
нормальный человек, который может и правду говорить, и лгать.

Начнём с фундаментальной задачи о развилке дорог.
Приезжий подошёл на острове к развилке, у которой сидел на камне абориген.
Приезжему известно, что одна из дорог ведёт в школу, другая – в университет.
Как ему выяснить, какая дорога ведёт в школу? Сделать это надо, задав один
вопрос, ответ на который – «Да» или «Нет».

Обсуждаем задачу.
Спрашивать у сидящего, является ли он рыцарем, бессмысленно: кем бы
он ни был, ответ будет утвердительным. Так же не имеет смысла задавать
вопрос о том, является ли сидящий лжецом.
Нетрудно видкеть и бесполезность вопроса «Ведёт ли эта дорога в школу»,
указывая на одну из дорог (проверьте!).

Попробуйте придумать вопрос, по ответу на который приезжий
безошибочно установит интересующую его дорогу.

Продолжение следует.

[PSP]

РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ (часть 2)

Бывают весьма каверзные вопросы о рыцарях и лжецах. Вот, например.
Некто на острове говорит: «Я – лжец». Кто он?

Вот несколько не столь каверзных задачек.

1. Путешественник встречает двух туземцев – гиганта и коротышку.
«Ты всегда говоришь только правду?» – спрашивает он гиганта.
Тот отвечает: «Тарабара». Путешественник понял, что слово «тарабара»
на языке туземцев означает то ли «да», то ли «нет», но не смог догадаться,
что именно. «Он сказал "да", — поясняет коротышка, знающий язык
путешественника, – и он ужасный лжец».
К какому племени принадлежит каждый из туземцев?

2. В стране Деревенька три селения. Жители Правдычина всегда говорят правду,
жители Кривдина всегда лгут, а жители Середины-на-Половине говорят попеременно
то правду, то ложь. Однажды в пожарной части Деревеньки зазвонил телефон.
– Скорее приезжайте! У нас в селении пожар! – сказали взволнованным голосом.
– В каком селении? – уточнить дежурный.
– В Середине-на-Половине, – последовал ответ.
Как должен поступить дежурный?

3. На том самом острове (см. выше) встретились три человека: А, В и С.
Известно, что один из них – рыцарь, другой – лжец, ещё один – приезжий.
А говорит: «Я приезжий».
В говорит: «А и С иногда говорят правду».
С говорит : «В приезжий».
Кто из них лжец, кто рыцарь, а кто приезжий?

4. ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА
Трём мудрецам А, В и С) завязывают глаза и говорят, что каждому из них
на голову надели либо красный, либо зелёный колпак. Затем глаза им
развязывают и просят поднять руку, если они видят красный колпак, и выйти
из комнаты, если уверены в том, что знают, какого цвета колпак у них на голове.
Все три колпака оказались красными, поэтому все трое подняли руку.
Прошло несколько минут, и С, который соображает немного быстрее,
вышел из комнаты. Как мудрец C распознал цвет своего колпака?.