Всероссийский конкурс решения задач 2020-2021 уч. года

[PSP]

ПУНКТ б ЗАДАЧИ № 20 ПОБЕЖДЁН

С этим пунктом справился Тюков Даниил (10 кл., Новый Свет). Он доказал, что это сделать невозможно.

Остался последний пунктик в!

[PSP]

МЫ И НАШИ СОПЕРНИКИ (4-й тур)

Наши результаты:
13) +
14) +
15) +
16) -

Команда 9-10 классов из Магнитогорска решила все задачи.
(Тем самым, среди команд мы в четвёртом туре на 2-м месте.)

А среди индивидуальных участников все задачи решили трое:
7-классница из Москвы, 8-классник из Москвы и 9-классница из Болгарии.

[PSP]

Задачи 6-го тура
(срок отправки решений в Москву - до 5 марта 2021 г.)

21. Две точки A и B внутри прямоугольника соединили отрезками с его вершинами, как показано на рисунке. Докажите, что суммарная площадь двух жёлтых треугольников, примыкающих к точке A, равна суммарной площади двух жёлтых тре угольников, примыкающих к точке B.

21_40.jpg (34.78 КБ) 30420 просмотров

22. Головоломка "Ёлки-палки" состоит из 100 палочек, длина каждой из которых либо 1 см, либо 3 см. На упаковке головоломки утверждается, что из всех этих палочек (не ломая) можно составить границу правильного многоугольника. Вовочка попытался выложить прямоугольник, но доказал, что этого сделать нельзя, и поэтому считает, что головоломка бракованная. Прав ли он?

23. Рассмотрим клеточные фигуры A и B (см. рис.). Пусть M — количество способов разрезать фигуру A на четырёхклеточные фигуры тетрамино, а N — количество способов разрезать фигуру B на четырёхклеточные фигуры тетрамино. Какое из чисел M или N больше? На сколько?

19_40.jpg (33 КБ) 30420 просмотров

24. Сколькими способами в таблицу 7 × 7 можно расставить цифры (от 0 до 9) так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2 × 2 не превышала 12, а сумма всех чисел в таблице была максимально возможной?

ВАШИ РЕШЕНИЯ ПРИСЫЛАЙТЕ СЕРГЕЮ ПАВЛОВИЧУ КАК МОЖНО БЫСТРЕЕ.
Их мы проверим, обсудим, откорректируем и только потом отправим жюри в Москву.

[PSP]

1:3. Пока не в нашу пользу

Первым успешно атаковал задачи 6-го тура Еронин Валерий (10 кл., Сиверский). Он решил задачу № 22.

Одна решена. Осталось три!

[PSP]

Уже 2:2. Продолжаем битву!

Тюков Даниил (10 кл., новый Свет) прислал решение задачи № 21.
Если оно верное, то половина задач решена.

[PSP]

Похоже на 3:1 в нашу пользу

Тюков Даниил (10 кл., Новый Свет) прислал решение задачи № 23.
Большие продвижения в этой задаче и у Стрекозова Дениса (5 кл., Луга).

ВСЕ СИЛЫ - НА ЗАДАЧУ № 24!
Пока, похоже. ею всерьёз занимается только 5-классник Стрекозов Денис (Луга).

[PSP]

ОДИНАКОВЫЕ И РАЗЛИЧНЫЕ

Вот вопросы жюри и ответы на них.

1. В задаче № 23 какие два разрезания одной фигуры считается одинаковыми:
совпадающие при наложении или же по какому-то иному критерию?

Да, совпадающие при наложении.


2. В задаче № 24 что понимается под одинаковыми (различными) расстановками?
Две расстановки одинаковы, если таблицы можно совместить поворотами-переворотами
или
таблица "прибита", и расстановки одинаковы, если расставленные цифры совпадают "поячеечно"?

Таблица "прибита".

[PSP]

ЗАДАЧУ № 24 АТАКУЮТ МЛАДШИЕ ШКОЛЬНИКИ

В задаче № 24 и 5-классник Стрекозов Денис (Луга), и 7-классница Дорохова Софья (Сиверский) нашли по 4 способа расстановки цифр (способы у Дениса и Софьи одинаковы), при которых общая сумма цифр максимально возможная (во всяком случае, так им кажется).

[PSP]

ДОБАВИЛСЯ ЕЩЁ ОДИН СЕМИКЛАСССНИК

К 5-класснику Денису и 7-класснице Софье (см. выше) добавился 7-классник Крылов Тимофей (Луга).
Правда, в примере (задача № 24), который он прислал, сумма всех расставленных цифр меньше, чем у Дениса и Софьи.

[PSP]

ТЕПЕРЬ ТРОЕ МЛАДШИХ С ПРИМЕРАМИ

Итак, по 4 способа расстановки цифр при максимально возможной сумме придумали:
Стрекозов Денис (5 кл., Луга), Дорохова Софья (7 кл., Сиверский), Крылов Тимофей (7 кл., Луга).

А докажут, что это все варианты, кто? Старшие?

[PSP]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 23 ПОПРАВЛЕНО И ДОПОЛНЕНО

Тюков Даниил (19 кл., Новый свет) прислал отредактированное решение задачи № 23.

[PSP]

МЫ И НАШИ СОПЕРНИКИ (5-й тур)

Наши результаты:
17а) +
17б) +
18) +
19) +
20а) +
20б) +

Все задачи кроме нас не решила ни одна команда.
Команда 9-10 классов из Магнитогорска решила 5 задач.
Московская команда 9-классников решила 3 задачи.
(Тем самым, среди команд мы в этом туре на 1-ом месте.)
МОЛОДЦЫ!

А среди индивидуальных участников все задачи решены верно у троих:
8-классницы из Москвы, 8-классника из Москвы и 9-классницы из Болгарии.

[PSP]

Задачи 7-го тура
(срок отправки решений в Москву - до 5 апреля 2021 г.)

25. Внутри квадрата ABCD отметили точку K, на стороне AB – точку N так, что треугольники AKN и CBK подобны

25_формула.jpg (15.53 КБ) 29718 просмотров

Угол какой величины обязательно встретится среди углов этих треугольников?

26. Из тысячи красных и синих кубиков 1 × 1 × 1 сложили куб 10 × 10 × 10. Чтобы кубики не перепачкались свежей краской, между соседними кубиками разного цвета вставляли тонкий изолирующий квадратик. Оказалось, что изолирующих квадратиков нечётное количество. Докажите, что на поверхности куба не может быть поровну красного и синего.

27. Какое наибольшее количество узлов клетчатого листа можно отметить так, чтобы никакие три отмеченные точки не лежали на одной прямой и точка пересечения медиан любого треугольника с вершинами в отмеченных узлах не являлась узлом?

28. Назовем последовательность из 50 натуральных чисел с суммой 100 хорошей, если из неё нельзя выбрать несколько подряд идущих чисел с суммой 50. Найдите количество таких последовательностей.


ВАШИ РЕШЕНИЯ ПРИСЫЛАЙТЕ СЕРГЕЮ ПАВЛОВИЧУ КАК МОЖНО БЫСТРЕЕ.
Их мы проверим, обсудим, откорректируем и только потом отправим жюри в Москву.
(На этот раз жюри дало совсем мало времени на решение задач...)

[PSP]

"Подряд идущие числа"
(Уточняющий вопрос к жюри по условию задачи № 28)

Правильно ли мы понимаем, что под несколькими подряд идущими числами понимается несколько (один или более) подряд идущих членов
последовательности из 50 чисел, о которой идёт речь в условии?

(Некоторые школьники думают, что подряд идущие числа - это последовательные натуральные числа.)

[PSP]

ОТВЕТ ЖЮРИ
(см. предыдущий пост)

Да. под несколькими подряд идущими числами понимается несколько (один или более) подряд идущих членов
последовательности из 50 чисел, о которой идёт речь в условии.