Условия задач 3-го тура(срок отправки работ до 1 февраля 2017 г.)11. В правильный шестиугольник площади 96 вписан равносторонний треугольник так, как показано на рисунке. Найдите площадь этого треугольника.
- 11_50.jpg (32.77 КБ) 29796 просмотров
12. а) Найдутся ли 3 натуральных числа, которые все различны, и куб каждого из них делится на произведение остальных чисел?
б) А найдутся ли 4 таких числа?
13. Куб 10×10×10 составлен из 1000 кубиков, каждый из которых чёрный или белый. Рассмотрим 300 рядов, каждый из которых направлен параллельно какому-то ребру куба (в каждом таком ряду по 10 кубиков). Может ли оказаться, что в каких-то 200 из этих рядов по 8 чёрных кубиков, а в остальных 100 рядах – по 5 чёрных кубиков?
14. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD угол
A = 30°, периметр треугольника
BCD равен длине диагонали
AC. Найдите угол
C.
- 14_50.jpg (15.96 КБ) 29796 просмотров
15. Петя нарисовал таблицу 10×10 и заполнил все её клетки плюсами. Затем он сделал несколько действий по следующему правилу. Каждым действием он наугад выбирал ряд (строку или столбец) и менял каждый из 10 его знаков на противоположный (плюс на минус, минус на плюс). Когда после этого Петя вышел, хулиган Вася часть знаков стёр – осталось только
N знаков. Для какого наименьшего
N может оказаться, что получившуюся у Пети таблицу можно однозначно восстановить по оставшимся данным?