ИТОГИ РЕШЕНИЯ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 7 "Поскладываем?"
8-9 классы
Лукашов Никита: 1 - верно; 2, 3, 4 - неверно.
Ушков Даниил: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 11, 12, 13 - верно.
Кожемякин Дмитрий: 1 -верно; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 - неверно.
ПОЗДРАВЛЯЕМ ПОБЕДИТЕЛЯ
Ушкова Даниила.
Центр "Успех", Сиверский
Модератор: модераторы
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ПРИЗОВАЯ ЗАДАЧА № 8
"Степени числа 2016"
(для 5, 6, 7, 8, 9 классов)
Очевидно, и квадрат, и куб, и все дальнейшие степени числа 2016 оканчиваются на 6.
А может ли натуральная (не первая) степень числа 2016 оканчиваться
1 ) на 16 ?
2 ) на 016 ?
3 ) на 2016 ?
4 ) на 20162016 ?
5 ) на 56 ?
6 ) на 456 ?
7 ) на 3456 ?
8 ) на 23456 ?
Если ответ утвердительный, приведите пример: укажите степень, в которой число 2016 оканчивается так, как требуется в задаче; если же ответ отрицательный, попробуйте привести доказательство невозможности.
Ответы отправляйте по эл. почте Сергею Павловичу не позже 20 часов 21 марта.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
После занятия 15 марта картина второго полугодия такова:
За многочисленные пропуски занятий:
Лязева Екатерина исключена из списков группы.
Шаронов Ефим представлен к отчислению
Следующее занятие состоится 22 марта с 15.40 до 17.10.
Фамилия, имя | Класс | Школа | 12.01 | 19.01 | 28.01 | 09.02 | 16.02 | 01.03 | 10.03 | 15.03 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Богачёв Станислав | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | - | + | + | + | |||||
Григорьев Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | |||||
Демченко Андрей | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | |||||
Кожемякин Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | - | + | + | + | + | |||||
Лукашов Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | + | + | + | + | |||||
Петров Семён | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | |||||
Смертин Николай | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | - | + | + | + | + | |||||
Сычикова Мария | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | - | + | + | + | |||||
Терещенко Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | - | - | + | + | + | + | + | + | |||||
Тимофеев Михаил | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | |||||
Ушков Даниил | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | |||||
Ким Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | |||||
Москалёв Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | |||||
Шаронов Ефим | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | - | - | + | - |
За многочисленные пропуски занятий:
Лязева Екатерина исключена из списков группы.
Шаронов Ефим представлен к отчислению
Следующее занятие состоится 22 марта с 15.40 до 17.10.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ТЕМЫ
для размышления к занятию 22 марта:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Кое-что о задаче 3.7
На занятии 1 марта мы поняли, что следующее утверждение является ложным:
при целых k > 2 значение выражения 2k(k+1) не может быть точным квадратом.
ВОПРОС:
является ли найденный контрпример единственным?
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 2 (про 17 ладей).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
для размышления к занятию 22 марта:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Кое-что о задаче 3.7
На занятии 1 марта мы поняли, что следующее утверждение является ложным:
при целых k > 2 значение выражения 2k(k+1) не может быть точным квадратом.
ВОПРОС:
является ли найденный контрпример единственным?
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 2 (про 17 ладей).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
После занятия 22 марта ситуация такая:
Шаронов Ефим исключён из списков группы за многократные пропуски занятий без уважительной причины.
Следующее занятие состоится 5 апреля с 15.40 до 17.10.
Фамилия, имя | Класс | Школа | 12.01 | 19.01 | 28.01 | 09.02 | 16.02 | 01.03 | 10.03 | 15.03 | 22.03 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Богачёв Станислав | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | - | + | + | + | + | ||||
Григорьев Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | - | ||||
Демченко Андрей | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | ||||
Кожемякин Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | - | + | + | + | + | + | ||||
Лукашов Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | + | + | + | + | + | ||||
Петров Семён | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | ||||
Смертин Николай | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | - | + | + | + | + | - | ||||
Сычикова Мария | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | - | + | + | + | + | ||||
Терещенко Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | - | - | + | + | + | + | + | + | + | ||||
Тимофеев Михаил | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | ||||
Ушков Даниил | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | ||||
Ким Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | - | ||||
Москалёв Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | + |
Шаронов Ефим исключён из списков группы за многократные пропуски занятий без уважительной причины.
Следующее занятие состоится 5 апреля с 15.40 до 17.10.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ТЕМЫ
для размышления к занятию 5 апреля:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Кое-что о задаче 3.7
На занятии 22 марта мы получили формулы, по которым, зная одно решение уравнения, можно получать другое:
ВОПРОС:
все ли решения этого уравнения дают наши формулы?
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 3 (про доброго Никиту с конфетами).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
для размышления к занятию 5 апреля:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Кое-что о задаче 3.7
На занятии 22 марта мы получили формулы, по которым, зная одно решение уравнения, можно получать другое:
ВОПРОС:
все ли решения этого уравнения дают наши формулы?
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 3 (про доброго Никиту с конфетами).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ПРИЗОВАЯ ЗАДАЧА № 9
"И снова квадраты"
(для 8, 9 классов)
Мы знаем, по какой формуле можно вычислить сумму квадратов первых N натуральных чисел. Теперь давайте посчитаем суммы чисел, обратных квадратам первых N натуральных чисел, и представим результат вычисления в виде приближённой десятичной дроби с точностью до 0,000000001.
Например, если N = 2, эта сумма равна 1/1 + 1/4 = 1,250000000;
если N = 3, то 1/1+1/4+1/9 = 1,361111111;
если N = 4, то 1/1+1/4+1/9 +1/16 = 1,423611111.
Найдите приближённое значение суммы в виде десятичной дроби с точностью до 0,000000001, если
1 ) N=7; 2 ) N=10; 3 ) N=13; 4 ) N=15; 5 ) N=20; 6 ) N=25; 7 ) N=30; 8 ) N=35; 9 ) N=40; 10 ) N=50.
Победителем будет признан тот, кто «доберётся» до пункта с наибольшим номером.
Ответы присылайте Сергею Павловичу по эл. почте не позже 20 часов 4 апреля.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
Так получилось, что в группе школьников 8-9 классов, занимающихся в Сиверской гимназии, несколько человек прислали правильные ответы на все пункты призовой задачи № 9.
Молодцы!
Для выявления победителя
всем им предложено ответить на ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВОПРОС,
который выслан им по эл. почте.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
Опубликованы
результаты финального этапа
Международной математической олимпиады "Формула единства".
УШКОВ ДАНИИЛ - МОЛОДЕЦ!
результаты финального этапа
Международной математической олимпиады "Формула единства".
УШКОВ ДАНИИЛ - МОЛОДЕЦ!
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
Подведены итоги решения призовой задачи № 9
Несколько человек отвектили правильно на все пункты основного вопроса,
поэтому им был предложен ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВОПРОС:
Давайте каждую из сумм умножим на 6, из получившегося произведения извлечём квадратный корень и обозначим результат через P.
Например, при N = 600 получится, что P = 3,140… . Не правда ли, очень похоже на число ПИ?
(Во всяком случае, оно совпадает с числом ПИ в двух знаках после запятой.)
А какое наименьшее значение надо взять для N, чтобы получившееся число P совпало с числом ПИ
а) в трёх знаках после запятой?
б) в четырёх знаках после запятой?
в) в пяти знаках после запятой?
г) в десяти знаках после запятой?
Только трое из них дали правильные ответы на пункты а) и б):
Александров Илья (9 кл., шк. № 6 г. Луги),
Лукашов Никита (8 кл., Сииверская гимназия),
Ушков Даниил (8 кл., Сиверская гимназия).
Но, к сожалению, никто из них не осилил задания пунктов в) и г)...
Несколько человек отвектили правильно на все пункты основного вопроса,
поэтому им был предложен ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВОПРОС:
Давайте каждую из сумм умножим на 6, из получившегося произведения извлечём квадратный корень и обозначим результат через P.
Например, при N = 600 получится, что P = 3,140… . Не правда ли, очень похоже на число ПИ?
(Во всяком случае, оно совпадает с числом ПИ в двух знаках после запятой.)
А какое наименьшее значение надо взять для N, чтобы получившееся число P совпало с числом ПИ
а) в трёх знаках после запятой?
б) в четырёх знаках после запятой?
в) в пяти знаках после запятой?
г) в десяти знаках после запятой?
Только трое из них дали правильные ответы на пункты а) и б):
Александров Илья (9 кл., шк. № 6 г. Луги),
Лукашов Никита (8 кл., Сииверская гимназия),
Ушков Даниил (8 кл., Сиверская гимназия).
Но, к сожалению, никто из них не осилил задания пунктов в) и г)...
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
После занятия 5 апреля картина второго полугодия такова:
Следующее занятие состоится 12 апреля с 15.40 до 17.10.
Фамилия, имя | Класс | Школа | 12.01 | 19.01 | 28.01 | 09.02 | 16.02 | 01.03 | 10.03 | 15.03 | 22.03 | 05.04 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Богачёв Станислав | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | |||
Григорьев Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | - | - | |||
Демченко Андрей | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | |||
Кожемякин Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | - | + | + | + | + | + | + | |||
Лукашов Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | + | + | + | + | + | + | |||
Петров Семён | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | + | |||
Смертин Николай | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | - | + | + | + | + | - | + | |||
Сычикова Мария | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | - | + | + | + | + | - | |||
Терещенко Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | - | - | + | + | + | + | + | + | + | + | |||
Тимофеев Михаил | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | |||
Ушков Даниил | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | - | |||
Ким Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | - | + | |||
Москалёв Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | + | + |
Следующее занятие состоится 12 апреля с 15.40 до 17.10.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ТЕМЫ
для размышления к занятию 12 апреля:
ВОПРОС В СВЯЗИ С ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧЕЙ № 9
Если считать суммы чисел, обратных первым n натуральным числам, то будут ли эти суммы приближаться сколь угодно близко к некоторому числу S или какое бы S ни взять, рано или поздно сумма превысит это значение?
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
Москалёв Андрей и Лукашов Никита - двое, кто решили задачу № 3. А остальным слабо?
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 4 (про острова в океане Хепсу).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
для размышления к занятию 12 апреля:
ВОПРОС В СВЯЗИ С ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧЕЙ № 9
Если считать суммы чисел, обратных первым n натуральным числам, то будут ли эти суммы приближаться сколь угодно близко к некоторому числу S или какое бы S ни взять, рано или поздно сумма превысит это значение?
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
Москалёв Андрей и Лукашов Никита - двое, кто решили задачу № 3. А остальным слабо?
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 4 (про острова в океане Хепсу).
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
(для 5, 6, 7, 8, 9 классов)
Очевидно, что ни число 3, ни число 25, ни число 137 ни в какой натуральной степени не оканчиваются на 2016 (потому, что и 3, и 25, и 137 в любой натуральной степени будут числами нечётными).
А в какой наименьшей натуральной степени надо взять число
а) 2, б) 4, в) 6, г) 8, д) 12, е) 14, ж) 16, з) 18, и) 22, к) 24, л) 26, м) 28, н) 32,
чтобы результат возведения в степень оканчивался на 2016 ?
Для 5-6 классов: пункты а, б, в, г, ж, з, л.
Для 7 класса: пункты а, б, в, г, д, е, ж, з.
Для 8-9 классов пункты: а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к, л, м, н.
Ответы присылайте Сергею Павловичу по эл. почте не позже 20 часов 18 апреля.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
После занятия 12 апреля картина второго полугодия такова:
Следующее занятие состоится 19 апреля с 15.40 до 17.10.
Фамилия, имя | Класс | Школа | 12.01 | 19.01 | 28.01 | 09.02 | 16.02 | 01.03 | 10.03 | 15.03 | 22.03 | 05.04 | 12.04 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Богачёв Станислав | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | - | ||
Григорьев Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | - | - | - | ||
Демченко Андрей | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | + | ||
Кожемякин Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | - | + | + | + | + | + | + | + | ||
Лукашов Никита | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | + | + | + | + | + | + | + | ||
Петров Семён | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | + | - | ||
Смертин Николай | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | - | + | + | + | + | - | + | + | ||
Сычикова Мария | 8-2 | Сиверская гимназия | + | - | + | + | - | + | + | + | + | - | + | ||
Терещенко Дмитрий | 8-2 | Сиверская гимназия | - | - | + | + | + | + | + | + | + | + | + | ||
Тимофеев Михаил | 8 | № 3 | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + | - | ||
Ушков Даниил | 8-2 | Сиверская гимназия | + | + | - | + | + | + | + | + | + | - | - | ||
Ким Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | - | + | - | ||
Москалёв Андрей | 9-2 | Сиверская гимназия | + | + | + | + | + | - | + | + | + | + | + |
Следующее занятие состоится 19 апреля с 15.40 до 17.10.
-
- Администратор сайта
- Сообщения: 7202
- Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
- Откуда: Луга
- Контактная информация:
Re: Центр "Успех", Сиверский
ТЕМЫ
для размышления к занятию 19 апреля:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
Москалёв Андрей, Лукашов Никита и Сычикова Мария - трое, кто решили задачу № 3. А остальным слабо?
Петров Семён (и пока только он!) решил задачу № 5. Молодец!
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 5 (про обитаемые планеты галактики Успех.
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
для размышления к занятию 19 апреля:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"
2. При N=7 Ушков Даниил достиг интересных результатов.
В планах - выслушать "чудодейственный" способ Ушкова составления связок ключей.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
А нет ли для N=7 связки из 7 ключей?
3. Для N=8 пока не придумана вообще никакая связка. Дерзайте!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ
Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x2 + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6n + 11 = k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение m4 - 2n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m2 - 2n2 = 1.
Все ли натуральные решения уравнения 3.7 описываются формулами, полученными на занятии 22 марта?
Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Сюжет 4. ШАХМАТЫ
Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!
ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
Москалёв Андрей, Лукашов Никита и Сычикова Мария - трое, кто решили задачу № 3. А остальным слабо?
Петров Семён (и пока только он!) решил задачу № 5. Молодец!
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
Попробуйте решить задачу № 5 (про обитаемые планеты галактики Успех.
ВАРИАЦИИ НА ТЕМЫ ФИНАЛА ОЛИМПИАДЫ "ФОРМУЛА ЕДИНСТВА"
Раскраска доски
Осталось разобраться с пунктом в).
ВОКРУГ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 6 (условие задачи см. выше)
Задача решена только при N = 2, 3, 4, 5, 6.
ДИАГОНАЛЬКИ
У нас пример расстановки 16 диагоналей и оценка сверху - доказательство того, что не может быть более 18 диагоналей.
Попробуйте или улучшить оценку, или придумать пример, в котором диагоналей более 16.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем",
условия задач
- районной олимпиады 21 ноября 2015 г.,
- олимпиады Центра "Успех" 28 января 2016 г.,
- финала олимпиады "Формула единства" (те, кто был на олимпиаде),
- олимпиады Центра "Успех" 10 марта 2016 г.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 13 гостей