Математическая индукция

[PSP]

Это мощное "оружие" для доказательства. Но, как и всяким другим оружием, им надо пользоваться аккуратно и грамотно.

[PSP]

LNV напомнил мне об одном довольно древнем "приколе"...
Вот одна из его версий:

Лошади одной масти.jpg (89.99 КБ) 60847 просмотров

[LNV]

Коль я напомнил PSP об этом "приколе", то я и отвечу на поставленный вопрос (см. выше).

Ошибка в этих рассуждениях, безусловно, есть, и, как не странно, заключается она в БАЗЕ индукции. Для того, чтобы доказательство было верным, нужно, чтобы утверждение в базе было доказано хотя бы для двух лошадей, чего мы, естестественно не докажем.

Здесь можно провести следующую аналогию (чтобы лучше понять мои рассуждения):
Пусть база - это мы, а автобус - это индукционный переход.
Если мы сели в автобус, и он поехал, то такое доказательство можно считать полным.
Но мы ведь можем и не сесть в автобус, а он всё равно без нас поедет...

[PSP]

Коль я напомнил PSP об этом "приколе", то я и отвечу на поставленный вопрос (см. выше).

Ошибка в этих рассуждениях, безусловно, есть, и, как не странно, заключается она в БАЗЕ индукции. Для того, чтобы доказательство было верным, нужно, чтобы утверждение в базе было доказано хотя бы для двух лошадей...

Это на основании чего же делается такое утверждение?
Базой индукции может быть любое (обычно, натуральное) число m. И, если проведена индукция по n (с шагом 1), то тем самым доказано, что утверждение верно для любого натурального n, начиная с числа m.

[LNV]

Это на основании чего же делается такое утверждение?
Базой индукции может быть любое (обычно, натуральное) число m. И, если проведена индукция по n (с шагом 1), то тем самым доказано, что утверждение верно для любого натурального n, начиная с числа m.

Нет, не любое. Для того, чтобы можно было продолжать рассуждения (то есть делать индукционный переход), необходимо иметь равенство мастей хотя бы двух лошадей.
Повторюсь ещё раз: автобус-то движется, но мы в него не сели.

[PSP]

Нет, не любое. Для того, чтобы можно было продолжать рассуждения (то есть делать индукционный переход), необходимо иметь равенство мастей хотя бы двух лошадей.
Повторюсь ещё раз: автобус-то движется, но мы в него не сели.

Любое.
Для доказательства методом математической индукции, например, того, что n²+1 > n я могу в качестве базы взять, скажем, число -10, проверить, что 101 > -10, осуществить индукционный переход, после чего утверждать, что n²+1 > n выполняется при всех целых n, начиная с -10.
Вне зависимости от того, что думает LNV о методе математической индукции, этот метод ровным счётом не думает ни о ком - он существует вне и независимо от нашего сознания. Что касается базы, то справедливо именно то, о чём я писал выше.
И методу математической индукции безразличен даже автобус.
Не исключаю, что LNV хотел сказать нечто иное - отличное от того, что написал. Но я возразил тому, что было написано (утверждению о базе индукции).

[LNV]

Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

[PSP]

Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

Во-первых, конкретное док-во конкретного утверждения надо не "общими словами убивать", а (если решение неверное) указывать на ошибку в решении.
Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

[LNV]

Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

Во-первых, конкретное док-во конкретного утверждения надо не "общими словами убивать", а (если решение неверное) указывать на ошибку в решении.
Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

Утверждается - в индукционном переходе, если n=1.

[PSP]

Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

...Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

Утверждается - в индукционном переходе, если n=1.

В индукционном переходе не это утверждается. Советую внимательно прочитать доказательство.

[LNV]

Я думаю, пора уже закончить этот разговор.

При n=2 индукционный переход не верен, так как между первой и второй лошадью нет лошадей.

[PSP]

При n=2 индукционный переход не верен, так как между первой и второй лошадью нет лошадей.

Индукционный пе переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

[LNV]

Индукционный переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

Я с Вами не согласен.
Индукционный переход: если верно если верно А(k), то верно A(k+1) ПРИ ЛЮБОМ k, о которых ведётся речь в задаче.
С такой добавкой я соглашаюсь с Вашими рассуждениями.

Возвращаясь к нашей задаче:
Я утверждаю, что индукционный переход верен не при всех k, а именно: если верно А(1), то НЕ верно A(2).

К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

А понимать это надо очень просто. В решении говорится:
"Но лошади посередине с номерами от 2 до n-1 не могут изменять масть..."
Ну начнём с того, что при n=2 эта фраза вообще не имеет смысла, и при n=2 посередине лошадей к тому нет. А так как дальнейшие рассуждение строится на последнем факте (который в кавычках), который неверен, значит, и всё решение неверно.

[PSP]

Индукционный переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

Я с Вами не согласен.
Индукционный переход: если верно если верно А(k), то верно A(k+1) ПРИ ЛЮБОМ k, о которых ведётся речь в задаче.

По всей видимости, LNV надобно разобраться в логике и, в частности, в том, что такое импликация.
А то можно начать не соглашаться даже с тем, что утверждение "2 меньше или равно 2" истинно, по той лишь причине, что 2 равно 2
(такое часто приходится слышать).
.

[PSP]

К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

А понимать это надо очень просто. В решении говорится:
"Но лошади посередине с номерами от 2 до n-1 не могут изменять масть..."
Ну начнём с того, что при n=2 эта фраза вообще не имеет смысла, и при n=2 посередине лошадей к тому нет. А так как дальнейшие рассуждение строится на последнем факте (который в кавычках), который неверен, значит, и всё решение неверно.

Я не увидел здесь ответа на свой вопрос: в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми?
Возможно, вместо критики старинного доказательства (которое, разумеется, ущербно) стоит переформулирвать утверждение так, чтобы его смысл стал понятен.