Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Выездная олимпиада по математике факультета ПМ-ПУ СПбГУ. 2008 год
Олимпиада проходила на базе школы № 3 г. Луги 16 февраля 2008 г.
См. фото.

Условия задач. Вариант 1

1.  На координатной плоскости $Oxy$  изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $\left( \left| x^2-1 \right| -2+y\right) \left(\left| x^2-4 \right|+2+y \right)\geqslant 0$.

2.  Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x^2+xy+y^2=84\\ x+\sqrt{xy}+y=14 \end{cases}.$$

3.  При всех значениях параметра $a$ решите неравенство  $\sqrt{1-x}-\sqrt{x}> a$.

4.  Решите уравнение $\tg 2x + \ctg x = 8 \cos^2 x$.

5.  Решите неравенство $\log_{|x+7|} 2 \cdot \log_2 \left( x^2+x-2\right)\leqslant 1$.

6.  В треугольник $ABC$  вписана окружность с центром в точке $O$, касающаяся стороны $BC$  в точке $D$. Продолжение отрезка $AO$  за точку $O$ пересекает сторону $BC$  в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BD=4$, $DE=1$,  $EC=6$.

7.  Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если площадь полной поверхности пирамиды равна $10$, плоский угол грани при вершине равен $\arcsin\frac{1}{3}$.

Условия задач. Вариант 2

1.  На координатной плоскости $Oxy$  изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $\left( \left|1-x^2 \right| +2+y\right) \left(2+y-\left| x^2-2 \right| \right)\geqslant 0$.

2.  Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x^2+xy+y^2=91\\ x+\sqrt{xy}+y=13 \end{cases}.$$

3.  При всех значениях параметра $b$ решите неравенство  $\sqrt{2+x}-\sqrt{-x}< b$.

4.  Решите уравнение $6 \tg x + 5 \ctg x = \tg 2x$.

5.  Решите неравенство $\log_{|x+6|} 2 \cdot \log_2 \left( x^2-x-2\right)\leqslant 1$.

6.  В треугольник $ABC$  вписана окружность с центром в точке $O$, касающаяся стороны $BC$  в точке $D$. Продолжение отрезка $AO$  за точку $O$ пересекает сторону $BC$  в точке $E$. Найдите радиус вписанной окружности, если $BD=4$, $DE=1$,  $EC=6$.

7.  Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если площадь полной поверхности пирамиды равна $20$, угол наклона плоскости боковой грани равен $\arcsin\frac{1}{3}$.



  Последнее обновление 1 марта 2008 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна