Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Выездная олимпиада по математике факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ. 2009 год

Олимпиада проходила на базе школы № 3 г. Луги 21 февраля 2009 г.

Участники, получившие дипломы I степени, получали право поступления без экзаменов не только на факультет ПМ-ПУ, но и на математико-механический факультет СПбГУ. Обладателям дипломов II степени засчитывались 100 баллов ЕГЭ по математике при поступлении на указанные факультеты.

Условия задач. Вариант 1

1.  Вычислите сумму


2.  Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x + 2 \sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}} = \dfrac{8}{x-y}-y\\ xy = 15 \end{cases}.$$

3.  На координатной плоскости $Oxy$ изобразите множество точек $(x,y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению $x^2 + 2x\sin(xy) + 1 = 0$.

4.  При каких значениях параметра $a$  уравнения $x^2+3ax+5=0$  и $x^2+3x+5a=0$  имеют хотя бы один общий действительный корень?

5.  Решите неравенство $\log_{x} (5-x) \cdot \log_{2x+2} (x-3) < 0$.

6.  Основания высот остроугольного треугольника $ABC$  со сторонами $a$,  $b$,  $c$  служат вершинами треугольника $KMN$. Найдите его периметр.

7.  Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$  равно $a$. Найдите площадь поверхности шара, проходящего через середины рёбер $AA_1$,   $BB_1$  и через вершины  $A$  и $C$.

Условия задач. Вариант 2

1.  Вычислите сумму


2.  Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x + y + \sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}} = \dfrac{20}{x-y}\\ xy = 15 \end{cases}.$$

3.  На координатной плоскости $Oxy$ изобразите множество точек $(x,y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению $x^2 - 2x\cos(xy) + 1 = 0$.

4.  При каких значениях параметра $b$  уравнения $x^2 - 2bx + 3 = 0$  и $x^2 - 2x + 3b = 0$ имеют хотя бы один общий действительный корень?

5.  Решите неравенство $\log_{x-4} (2x) \cdot \log_{6-x} (x-1) < 0$.

6.  Основания высот остроугольного треугольника $ABC$  служат вершинами треугольника $KMN$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если периметр треугольника $KMN$равен $2p$, а площадь треугольника $ABC$  равна $S$.

7.  Радиус сферы, проходящей через середины рёбер $AA_1$,  $BB_1$ и через вершины $A$ и $C$  куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$  равен $R$. Найдите ребро куба.



  Последнее обновление 3 марта 2009 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна