Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Математический бой объединенных команд Сиверской гимназии № 1 и Лужских групп ЗМШ при СПбГУ (Сиверский, 12 октября 2002 г.)

Задачи

1.  Комиссия по празднованию 30-летия первой ЛМШ собиралась 40 раз. Каждый раз на заседании присутствовали 10 человек, причём никакие двое из её членов не были на заседаниях вместе более одного раза. Докажите, что число членов комиссии более 59.

2.  В выпуклом пятиугольнике все стороны равны, а все углы меньше  $118^\circ$. Докажите, что все углы этого пятиугольника больше $88^\circ$.

3.  Докажите, что для любого натурального $n$  найдутся такие натуральные  $x_1$,  $x_2$, ...,  $x_n$, что будет выполнено равенство:
$$\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 } = 12n^3 + 18n^2 + 6n.$$

4.  При каком наименьшем $N$  при любой расстановке на шахматной доске чёрного короля и $N$ белых ладей чёрные смогут подставить короля под бой белой ладьи, как бы ни играли белые?

6.  В шестиугольнике $ABCDEF$  точка $M$ — середина отрезка, соединяющего середины сторон  $AB$ и $CD$, точка $H$ — середина отрезка, соединяющего середины сторон $DE$  и $AF$, точка $X$ — середина $BC$, точка $Y$ — середина $EF$. Может ли оказаться, что отрезки  $MY$  и $HX$  не имеют общих точек?

7.  В стране Сиверлугия 2002 города, между которыми установлено воздушное сообщение так, что каждый связан не менее чем с 1001 другим беспосадочными авиарейсами. Экономический советник президента Сиверлугии — мудрец Кой — посоветовал президенту, в целях экономии, отменить произвольные 1000 рейсов, уверяя, что из любого города всё равно можно будет долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Прав ли Кой?

8.  На бумагу поставили кляксу и для каждой её точки определили наименьшее и наибольшее расстояния до границы кляксы. Наибольшее из всех наименьших расстояний оказалось равно наименьшему из всех наибольших расстояний. Какую форму могла иметь такая клякса?

9.  Про $\alpha$ и  $\beta$ известно, что они принадлежат $(0;\pi/2)$ и
$$\sin 2\alpha\cdot\sin(\alpha+2\beta) = \sin 2\beta\cdot \sin(2\alpha+\beta).$$

Верно ли, что $\alpha=\beta$ ?

10.  Точка внутри правильного шестиугольника со стороной 1 соединена отрезками со всеми его вершинами. Обязательно ли среди треугольников разбиения найдутся два таких, у которых длины всех сторон не меньше 1 ?

11.  На кафтане площадью 10 помещаются 5 заплат, площадь каждой из которых не менее 5. Можно ли утверждать, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не менее 2 ?

12.  V-преобразованием назовём увеличение натурального числа на его сумму цифр. Верно ли, что из любого натурального числа, не кратного 5, не более чем за 10 V-преобразований получается число, кратное 5 ?

Команды

Команда № 1:
Боблак Ольга (п. Сиверский), Богомолов Владимир (г. Луга), Васильев Виктор (г. Луга), Дрожжин Станислав (п. Сиверский), Каваленков Александр, (г. Всеволожск, капитан), Койвистолайнен Андрей, (г. Луга, заместитель капитана), Колоев Александр (п. Сиверский), Марухин Филипп (п. Сиверский), Морозов Антон (г. Луга), Сокол Марина (п. Сиверский), Цырулёва Юлия (п. Сиверский), Яруничев Алексей (г. Луга).

Команда № 2:
Гарнюк Варвара (п. Сиверский), Еремеев Олег (г. Луга), Златкин Илья (п. Сиверский), Клевцов Андрей (п. Сиверский), Кравченко Анна (п. Сиверский), Поликарпов Василий (г. Луга), Свириденко Станислав (г. Луга, заместитель капитана), Трифонов Александр (п. Сиверский), Устинов Сергей (г. Луга), Худяков Ярослав (г. Луга), Шелабин Дмитрий (п. Сиверский), Щипцов Владислав (г. Луга, капитан).

Результат боя

Команда № 1 — 63 балла, команда № 2 — 47 баллов, жюри — 34 балла. Победила команда № 1.



  Последнее обновление 24 мая 2007 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна