1. (5 баллов, 4 минуты) В ряд расположены 10 шариков, каждый из которых красного, синего или зелёного цвета. Оказалось, что среди любых трёх подряд расположенных шариков есть шарики каждого из трёх цветов. Сколько может быть в этом ряду красных шариков?
2. (4 балла, 3 минуты) Можно ли в клетках таблицы 3x4 расставить натуральные числа от 1 до 12 так, чтобы ни в каких двух соседних клетках сумма чисел не была кратна 4 ? (Мы считаем соседними клетками те, которые имеют хотя бы одну общую точку.)
3. (3 балла, 3 минуты)
На рисунке изображена схема дорожек, на которой сторона
каждой клеточки составляет 50 м. В точке A находится сестрица
Алёнушка, в точке B — братец Иванушка. Сколько есть
путей протяжённостью 300 м, по которым Алёнушка может дойти
до Иванушки, если известно, что воспитанная Алёнушка ходит только
по дорожкам?
4. (4 балла, 3 минуты) Используя каждую цифру ровно по одному разу, составьте два пятизначных числа, которые отличаются друг от друга на минимально возможную величину.
5. (4 балла, 3 минуты)
Существуют ли такие два различных натуральных числа
и 
,
для которых будут простыми значения каждого из выражений:
,
,
?
6. (3 балла, 2 минуты) Электронный будильник показывает часы (две цифры от 00 до 23) и минуты (тоже две цифры). Сколько раз в промежуток времени от 00:01 до 23:59 показание будильника читается одинаково слева направо и справа налево?
7. (5 баллов, 4 минуты) По линиям клетчатой бумаги нарисован прямоугольник. Может ли оказаться, что после удлинения каждой его стороны на 17 клеток количество клеток прямоугольника увеличится на 2006 ?
8. (4 балла, 3 минуты) У трёхзначного числа все цифры отличны от нуля, причём каждая цифра делится на разность двух других цифр. Какое это число, если известно, что оно больше 900 ?
9. (5 баллов, 4 минуты)
На листе бумаги отмечены 6 точек и между некоторыми из них
проведены отрезки, не имеющие друг с другом общих внутренних точек.
Оказалось, что из каждой точки выходят ровно
отрезков. Чему может быть равно
?
10. (5 баллов, 3 минуты) Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в некотором порядке так, чтобы для любой группы (от 2 до 6 чисел) рядом стоящих чисел их среднее арифметическое не являлось целым числом.
11. (3 балла, 1 минута) Сумма цифр 97-значного числа, не содержащего нулевых цифр, равна 100. Чему равно произведение цифр такого числа?
12. (4 балла, 3 минуты)
Можно ли в некоторых клетках бесконечного листа клетчатой бумаги
расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в любом квадрате
была бы равна 3 ?
13. (4 балла, 3 минуты)
Существуют ли такие два различных простых числа
и 
,
что 
делится на
?
14. (4 балла, 3 минуты)
Расставьте все натуральные числа от 1 до
в ряд таким образом, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым
числом. Значение
выберите сами, постаравшись, чтобы оно было как можно больше.
15. (4 балла, 3 минуты) Найдите все натуральные числа, количество натуральных делителей которых равно половине этого числа.
| состав команды | территория и номер команды |
сумма баллов | диплом |
| Азимов Рустам, Жорникова Полина, Форсман Юлия | Луга, № 2 | 27 | I |
| Зотова Анастасия, Павлоцкий Владислав, Сыроветник Дмитрий | Гатчина, № 5 | 24 | I |
| Бобрикова Анна, Допира Юлия, Меженская Дарья | Гатчина, № 3 | 21 | II |
| Балабанова Александра, Ким Виктория, Куц Константин | Гатчина, № 6 | 21 | II |
| Белехов Иван, Ли Ксения, Самойлова Лариса | Луга, № 4 | 19 | II |
| Арефьев Сергей, Гасанова Анна, Семёнов Денис | Луга, № 5 | 19 | II |
| Акимова Юлия, Игнатьева Татьяна, Мусин Роман | Луга, № 6 | 18 | III |
| Вьюшкова Александра, Санец Анастасия, Черёмухина Алёна | Луга, № 1 | 16 | III |
| Лукина Александра, Меленьтьев Павел, Пустовойт Полина | Гатчина, № 4 | 15 | III |
| Бурилова Маргарита, Заболотников Пётр, Панасенко Мария | Сиверский, № 6 | 13 | I |
| Бенза Александра, Головин Алексей, Данилов Тимофей | Гатчина, № 2 | 12 | III |
| Дмитренок Александра, Калинина Анна, Михайлов Никита | Луга, № 3 | 12 | |
| Маралова Ольга, Рябов Андрей, Смольников Игорь | Гатчина, № 1 | 11 | |
| Кирсанова Виктория, Старостина Дарья, Удот Татьяна | Сиверский, № 2 | 10 | II |
| Адальянц Захар, Волосюк Леонид, Курников Илья | Сиверский, № 1 | 8 | III |
| Дымова Мария, Пашко Татьяна, Смирнов Владислав | Сиверский, № 3 | 8 | III |
| Васильева Дарья, Захарова Анастасия, Новиков Константин | Сиверский, № 4 | 8 | III |
| Артемьев Владислав, Березовский Александр, Кузьмин Кирилл | Сиверский, № 5 | 3 |