Задачи

1.  Юра и Саша играют в следующую игру. Вначале на доске написаны числа 2, 4, 6, 8, …, 2006. За один ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются числа, равные нулю, и числа, совпадающие с какими-то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при наилучшей игре с обеих сторон, если первый ход Юры?

2.  На горизонтальной плоскости из трёх точек, отстоящих от точки основания вертикальной башни на расстояния 100, 200 и 300 метров, измерили углы, под которыми видна башня. Сумма их величин составила . Можно ли по этой информации однозначно определить высоту башни?

3.  Для любых ли действительных  и  найдутся такие числа  и , что  ?

4.  Ваня придумал новую теорему: «Среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, сумма цифр которого делится на 11». Верна ли Ванина теорема?

5.  Диагонали параллелограмма , отличного от прямоугольника, пересекаются в точке . Через основания перпендикуляров, опущенных из точки  на прямые , , , проведена окружность. Докажите, что она пройдёт через точку .

6.  Рассматривается система двух уравнений с двумя неизвестными:

где  и  — многочлены от двух переменных  и . Может ли такая система иметь ровно три решения: (25; 12), (2006; 2007), (3; 14) ?

7.  Приведите пример бесконечной гармонической прогрессии целых чисел, в которой не все члены равны. (Гармонической прогрессией мы называем последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен среднему гармоническому предшествующего и последующего членов. Средним гармоническим чисел  и   называется число ).

8.  Выпуклый четырёхугольник площади  содержится в единичном квадрате. Докажите, что найдётся содержащийся в четырёхугольнике отрезок, длина которого 0,5,  параллельный некоторой стороне квадрата.

9.  Прямая дорога длиной 1 км целиком освещена фонарями, причём каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 10 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

10.  Непрерывная функция  определена на всей числовой прямой, в каждой точке имеет производную, и её график не содержит точек, одна координата которых рациональна, а вторая — иррациональна. Обязательно ли графиком  является прямая?

Команды

Команда «Гатчина»:
Волобуева Мария, Зайцев Олег, Меркушев Кирилл, Рахлин Максим, Секерина Евгения, Сумбаев Игорь, Шевченко Артём (капитан), Шестаков Алексей (зам. капитана), Щербак Сергей, Якорев Вадим.

Команда «Луга»:
Александров Георгий, Воробьёв Юрий, Ермаков Александр, Зубанов Константин, Меженько Иван (капитан), Мирошниченко Иван, Павлов Дмитрий (зам. капитана), Самсоненко Дмитрий, Селезнёв Максим, Солдатов Кирилл.

Конкурс капитанов

На конкурсе капитанов предлагалась следующая задача: расставьте в клетках поля 3×3 все цифры от 1 до 9 так, что сумма всех попарных произведений чисел, стоящих в соседних клетках, была как можно больше (соседними клетками считаютcя те, у которых есть общая сторона). В конкурсе капитанов принимали участие И. Сумбаев («Гатчина») и И. Меженько («Луга»). Победил И. Сумбаев.

Протокол

номер задачи	участник команды «Гатчина»	вызов	участник команды «Луга»	баллы команды «Гатчина»	баллы команды «Луга»	баллы жюри
1	Якорев В.		Меженько И.	6	6	0
6	Сумбаев И.		Зубанов К.	12	0	0
8	Шевченко А.		Ермаков А.	8	0	4
10	Меркушев К.		Павлов Д.	0	0	12
9	Шестаков А. Якорев В (замена)		Павлов Д.	0	12	0
2	Рахлин М.		Александров Г. Меженько И. (замена)	9	2	1
4	Секерина Е.		Селезнёв М.	1	11	0
5	Шевченко А.		Зубанов К.	0	10	2
3	Щербак С.		Ермаков А.	0	12	0
7				0	0	12
ИТОГОВЫЙ СЧЁТ				36	53	31

Примечание: знаки  и   в колонке «вызов» означают соответственно вызов команды Гатчины и Луги.