1. (9 баллов, 3 минуты)
У продавца есть гиря 5 кг. Назовите ещё две гири, которые может взять продавец,
чтобы с помощью имеющихся у него 3 гирь суметь отвешивать за одно взвешивание
любое целое число килограммов от 1 до 
,
если гири разрешается класть на обе
чаши весов (число укажите сами,
постаравшись, чтобы оно было как можно больше).
2. (4 балла, 4 минуты) На соревновании по бегу на дистанции 10 км Ваня пробежал 9641 м, прошёл 3456 дм и прополз 12340 мм. Сколько сантиметров ему осталось до финиша?
3. (4 балла, 3 минуты) Напишите все натуральные делители числа 2007.
4. (5 баллов, 3 минуты) Отметьте на плоскости 6 точек и соедините некоторые из них непересекающимися отрезками так, чтобы число проведённых отрезков оказалось как можно больше. (В данной задаче непересекающимися называются отрезки, у которых нет общей внутренней точки.)
5. (3 балла, 1 минута) Римские адвокаты любили задавать другу задачи. Вот одна из них, дошедшая до нас из I в. до н. э. Вдова должна разделить наследство в 3500 динаров между собой и ребёнком, который у неё ещё не родился. По римским законам, если родится сын, мать получает половину его доли, а если дочь — вдвое больше её доли. У вдовы родились близнецы: мальчик и девочка. Как следует разделить наследство, не нарушая римские законы?
6. (4 балла, 4 минуты)
Можно ли вместо звёздочек поставить цифры так, что был верен приведённый
пример на сложение и в нём не было бы одинаковых цифр?
7. (5 баллов, 4 минуты) Если бы у красного дракона было на 6 голов больше, чем у зелёного, то у них вместе было бы 34 головы. Но на самом деле у красного дракона на 6 голов меньше, чем у зеленого. Сколько голов у красного дракона?
8. (7 баллов, 3 минуты) На листе бумаги поставили 4 точки. Сколько треугольников с вершинами в этих точках могло образоваться?
9. (7 баллов, 4 минуты) Какие две цифры надо приписать в конец числа 2007, чтобы полученное шестизначное число делилось на 37 ?
10. (5 баллов, 3 минуты) Из трёх прямоугольников с равными периметрами сложили один прямоугольник. Можно ли тогда утверждать, что эти три прямоугольника были равными?
11. (4 балла, 2 минуты) У настенных часов две стрелки — часовая и минутная. часы нельзя заводить, когда хотя бы одна из стрелок находится между цифрами 3 и 4 или 8 и 9. Сколько в сутках времени, когда часы заводить можно?
12. (4 балла, 2 минуты) Существует ли натуральное число, меньшее 2007 и обладающее таким свойством: и у самого числа, и у учетверённого числа сумма цифр делится на 7 ?
13. (6 баллов, 3 минуты) Может ли число делиться на 15 и на 35, но не делиться на 21 ?
14. (6 баллов, 3 минуты)
Денис всю новогоднюю ночь считал значение выражения
и к утру получил число 20072006. Докажите, что Денис ошибся.
15. (5 баллов, 3 минуты) Можно ли гири 2 кг, 4 кг, 6 кг, 8 кг, 10 кг, 12 кг разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились?
| состав команды | территория и номер команды |
сумма баллов | диплом |
| Александрова Ксения, Слободина Александра, Смольников Игорь | Гатчина, № 2 | 28 | I |
| Долгих Елена, Крондев Максим, Чиринскайте Ангелина | Гатчина, № 5 | 24 | II |
| Гасанова Анна, Лучко Александр, Семёнов Денис | Луга, № 7 | 22 | I |
| Адамьянц Захар, Артемьев Владислав, Лязев Георгий | Сиверский, № 10 | 20 | I |
| Волкова Оксана, Кирсанова Виктория, Удот Татьяна | Сиверский, № 13 | 20 | I |
| Ваганов Дмитрий, Гладышко Фёдор, Головин Алексей | Гатчина, № 1 | 18 | III |
| Крапивин Дмитрий, Лучко Сергей, Цыганова Анастасия | Луга, № 6 | 18 | II |
| Герлеман Георгий, Фотьев Василий | Гатчина, № 4 | 16 | |
| Дмитриев Станислав, Рябов Андрей | Гатчина, № 3 | 15 | |
| Волосюк Леонид, Кузьмин Кирилл, Ригин Александр | Сиверский, № 11 | 15 | |
| Голованов Егор, Окунев Андрей, Юргель Елизавета | Луга, № 9 | 14 | |
| Архипов Сергей, Степановский Александр, Степановская Рита | Сиверский, № 12 | 14 | |
| Гитлина Анастасия, Мамаджанов Тимур, Самсонова Анна | Луга, № 8 | 12 | |
| Березовский Александр, Курников Илья, Рогозин Михаил | Сиверский, № 14 | 8 |