1. Однажды во время ЛМШ–2000 нехороший Петя самовольно отправился купаться на озеро Омчино, имеющее форму круга. Доплыв до центра озера, Петя заметил на берегу озера строгую воспитательницу Нидмилу Люколаевну. Сможет ли Петя убежать от неё, если он бегает быстрее Нидмилы Люколаевны, а плавает в 4 раза медленнее, чем она бегает?
2. Накануне матбоя Гена не пошёл в школу, т. к. решил выяснить, какова сумма цифр суммы чисел: 18, 198, 1998, ..., 199...98 (в последнем числе 2007 девяток). Чему же равна сумма, которую так настойчиво искал любознательный Гена?
3. Какую наибольшую сумму длин высот может иметь треугольник, у которого сумма длин биссектрис равна 8 ?
4. На плоскости отмечены 2007 точек в общем положении (никакие три не лежат на одной прямой). Антон и Юля рисуют ломаную с вершинами в этих точках: Антон выбирает любую точку и проводит первое звено, Юля продолжает ломаную из той точки, где закончил Антон, затем Антон продолжает ломаную из точки, в которой закончила Юля и т. д. (проводить звено дважды нельзя). Проигрывает тот, кому не сделать ход. Кто при правильной игре выиграет и как ему для этого надо играть?
5. По окружности выписано 71 целое число, сумма которых равна 1. Никита считает все суммы подряд стоящих чисел (от 1 до 70 слагаемых). Сколько среди найденных Никитой сумм может быть положительных?
6.
Лист клетчатой бумаги 
выложен карточками 
,
на каждой из которых в одной клетке написано 
,
а в другой 
.
Оказалось, что произведение чисел в каждом столбце и в каждой строке
положительно. При каких 
это возможно?
7.
Ваня открыл новую теорему: если
— натуральное число и
делится на 
,
то сумма всех делителей числа тоже
делится на . Верна ли Ванина теорема?
8.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике с углом при вершине
боковая сторона длиннее основания
не менее чем в 11 раз.
9.
Неугомонный и изобретательный Ваня открыл новый признак: если длины
, 
, 
сторон некоторого треугольника таковы, что выполнено равенство
10. По окружности на равных расстояниях друг от друга расставляются красные и зелёные фишки — всего 9 штук. Интуиция шепчет Сархану, что при любой расстановке найдутся три фишки одного цвета в вершинах равнобедренного треугольника. Не подводит ли Сархана его интуиция?
Команда «Гатчина» (учащиеся 8 класса Гатчинского лицея № 3):
Храмов Павел (капитан), Латыпова Диана (зам. капитана), Бурмистрова Виктория,
Казанов Дмитрий, Коротынская Севастьяна, Музычева Ольга, Нефёдова Галина,
Никитин Дмитрий, Селезнёва Анастасия.
Команда «Луга» (учащиеся 8М класса ср. школы № 3 г. Луги):
Филатов Никита (капитан), Мирошниченко Иван (зам. капитана), Алдашкин Геннадий,
Архипова Екатерина, Живолупова Юлия, Заячковский Антон, Плюснина Юлия,
Поддубная Валерия, Сергеева Алина.
На конкурсе капитанов предлагалась следующая игра: на доске написано число 5; двое игроков поочерёдно увеличивают написанное число на любое простое число; тот, кто первым получит число, превосходящее 100, считается проигравшим. В конкурсе капитанов принимали участие П. Храмов («Гатчина») и И. Мирошниченко («Луга»). Победил П. Храмов.
| номер задачи |
участник команды «Гатчина» |
вызов | участник команды «Луга» |
баллы команды «Гатчина» |
баллы команды «Луга» |
баллы жюри |
| 4 | Казанов Д. |  | Сергеева А. | 0 | 6 | 6 |
| 9 | Коротынская С. |  | Плюснина Ю. | 0 | 12 | 0 |
| 6 | Никитин Д. | | Архипова Е. | 0 | 8 | 4 |
| 1 | Селезнёва А. | | Живолупова Ю. | 6 | 0 | 6 |
| 2 | Бурмистрова В. | | Алдашкин Г. | 0 | 0 | 12 |
| 8 | | 0 | 6 | 6 | ||
| 10 | Музычева О. | | Заячковский А. | 0 | 10 | 2 |
| 7 | Нефёдова Г. | | Мирошниченко И. | 0 | 8 | 4 |
| 5 | Храмов П. | | Мирошниченко И. | 0 | 0 | 12 |
| 3 | задача снята с игры | |||||
| ИТОГОВЫЙ СЧЁТ | 6 | 50 | 52 | |||
Примечание:
знаки и
в колонке
«вызов» означают соответственно вызов команды Гатчины и Луги.
