1. На плоскости даны 26 точек, наибольшее из попарных расстояний между которыми равно 1. Можно ли утверждать, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 0,5 ?
2. Пусть , — натуральные числа. Докажите, что хотя бы одно из двух чисел , не превосходит .
3. Через точку , взятую на высоте остроугольного треугольника , проведены прямые и , пересекающие стороны и соответственно в точках и . Докажите, что .
4. Существует ли фигура, которую можно разрезать на любое число равных треугольников, начиная с двух?
5. Решите в целых числах уравнение
6. Можно ли в пространстве расположить 4 точки A, B, C, D так, чтобы AB = CD = 8, AC = BD = 10, AD = BC = 13 ?
7. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым ровно одну партию, причём ни в одной из них не было ничьей. В конце турнира каждый шахматист составил список, в который вписал всех побеждённых им, а также всех тех, кого они победили. Обязательно ли будет список, в котором указаны все шахматисты, кроме одного (составившего этот список)?
8. Чему равен остаток от деления на 2007 числа ?
9. В королевстве Сивиряния более 13 замков, причём из каждого из них ведут ровно три дороги в другие замки. Из замка Ги выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, встречающегося на пути, поворачивал либо направо, либо налево (по отношению к дороге, по которой в него въехал), а нигде больше не сворачивал с дорог. Известно, что рыцарь никогда не сворачивал в одну и ту же сторону два раза подряд. Можно ли утверждать, что рыцарь непременно вернётся в замок Ги?
10. При каких натуральных существуют такие положительные числа , , ..., , что
Команда № 1:
Геннадий Алдашкин (Л9), Мария Волобуева (Г10), Кирилл Грибов (Л10),
Василий Данилов (С10), Александр Ермаков (Л11, капитан),
Ксения Лисицкая (С11), Никита Мизерный (С9), Роман Озеров (С10),
Родион Резник (С9, зам. капитана), Максим Репин (Г9), Сергей Щербак (Г10).
Команда № 2:
Георгий Александров (Л11), Юрий Воробьёв (Л11, капитан), Глеб Каплинский (С9),
Елена Малюхина (С11), Иван Мирошниченко (Л9, зам. капитана),
Элвис Монго (С9), Ефим Нефёдов (Г10), Дмитрий Никитин (Г9),
Павел Тылесов (С10), Алексей Шершнёв (Г10), Игорь Шмаев (С11).
Обозначения:
С — Сиверская гимназия,
Г — Гатчинский лицей,
Л — лужские группы ЗМШ, число после буквы — класс
номер задачи |
участник команды № 1 |
вызов | участник команды № 2 |
баллы команды № 1 |
баллы команды № 2 |
баллы жюри |
---|---|---|---|---|---|---|
6 | Роман Озеров | Юрий Воробьёв | 0 | 12 | 0 | |
5 | Александр Ермаков | Георгий Александров | 12 | 0 | 0 | |
7 | Геннадий Алдашкин | Ефим Нефёдов | 2 | 6 | 4 | |
1 | Родион Резник | Павел Тылесов | 0 | 0 | 12 | |
2 | Кирилл Грибов | Иван Мирошниченко | 0 | 11 | 1 | |
10 | Никита Мизерный | Глеб Каплинский | 0 | 12 | 0 | |
команда № 1 объявила, что у неё нет решённых задач | ||||||
8 | Сергей Щербак | | Алексей Шершнёв | 0 | 0 | 12 |
команда № 2 объявила, что у неё нет решённых задач | ||||||
3 | | 0 | 0 | 12 | ||
4 | | 0 | 0 | 12 | ||
9 | | 0 | 0 | 12 | ||
ИТОГОВЫЙ СЧЁТ | 14 | 41 | 65 |
Примечание: знаки и в колонке «вызов» означают соответственно вызов команд № 1 и № 2.