1. (6 баллов, 4 минуты) По итогам учебного года оказалось, что Денис Денискин получил вдвое больше пятёрок, чем все его одноклассники вместе взятые. Могло ли оказаться так, что всего в классе Дениса за учебный год получено 2008 пятёрок?
2. (4 балла, 2 минуты) На плоскости проведены 6 параллельных прямых и ещё 7 параллельных прямых. Сколько точек пересечения может оказаться у проведённых прямых?
3. (4 балла, 2 минуты)
Известно, что
,
,
— натуральные числа, причём
.
Какое наибольшее значение может иметь сумма
?
4. (4 балла, 3 минуты) Расставляя знаки арифметических действий в записи 1 2 3 4, получите как можно больше чисел первого десятка.
5. (6 балла, 4 минуты) На клетчатой бумаге нарисован по линиям сетки прямоугольник 10x12 клеток. Можно ли его разрезать на пять прямоугольников с площадями 20, 22, 24, 26, 28 клеток, делая разрезы только по линиям сетки?
6. (5 баллов, 3 минуты) Перемножили 10 чисел: 1, 8, 15, ... . Делится ли полученное произведение на 1000 ?
7. (5 баллов, 3 минуты) Существуют ли такие два натуральных числа, у которых разность равна 345, а произведение равно 12345 ?
8. (4 балла, 1 минута) Напишите все числа первой сотни, которые одновременно делятся на 2, на 4, на 6 и на 8.
9. (4 балла, 3 минуты) У инопланетянина Пыни есть 7 монет: 1, 2, 4, 7, 15, 27, 59 инов. Какую наименьшую сумму сможет заплатить Пыня без сдачи, придя в инопланетный магазин?
10. (4 балла, 3 минуты) Фигура «стрекоза» ходит на одну клетку, чередуя диагональные и недиагональные ходы. Приведите маршрут «стрекозы» на поле 4x4, при котором она не вступает ни на какое поле более одного раза. Постарайтесь, чтобы число обойдённых клеток было как можно больше.
11. (5 баллов, 2 минуты)
Замените звёздочки на цифры так, чтобы было верно равенство
.
12. (4 балла, 2 минуты) Можно ли из 10 квадратов сложить один квадрат?
13. (6 баллов, 3 минуты) Может ли сумма трёх нечётных чисел делиться на сумму четырёх нечётных чисел?
14. (5 баллов, 3 минуты) В магическом квадрате суммы чисел во всех строках, столбцах и двух больших диагоналях одинаковы. А можно ли из цифр 1, 2, ..., 9 составить антимагический квадрат, т. е. расставить цифры так, чтобы суммы чисел в строках, столбцах и двух больших диагоналях были попарно различны?
15. (5 баллов, 3 минуты)
— натуральное число первой сотни,
а каждое из чисел
,
,
,
—
простое. Чему может быть равно
?
| номер и состав команды | школа | сумма баллов | диплом |
| Л3: Александр Лучко, Денис Семёнов, Анастасия Цыганова | Лужская школа № 3 | 39 | I |
| С2: Захар Адамьянц, Любовь Стороженко, Татьяна Удот | Сиверская гимназия | 34 | I |
| Г3: Анна Кузьмина, Екатерина Семёнова, Игорь Смольников | Гатчинский лицей № 3 | 26 | II |
| Г11: Валерия Бурьянова, Елизавета Колесниченко, Илья Усольцев | Гатчинский лицей № 3 | 26 | II |
| Л4: Максим Аверин, Иван Бирюков, Сергей Лучко | Лужская школа № 3 | 25 | III |
| С1: Владислав Артемьев, Анастасия Прусакова, Александр Ригин | Сиверская гимназия | 22 | ПГ |
| Г6: Максим Крондев, Алексей Самусенко, Надежда Сорокоумова | Гатчинский лицей № 3 | 22 | ПГ |
| Г12: Алексей Алексеев, Фёдор Гладышко, Валерия Седова | Гатчинский лицей № 3 | 22 | ПГ |
| Г13: Илья Захаров, Евгений Копылов, Давид Косян | Гатчинская школа № 8 | 21 | |
| С3: Александр Березовский, Виктория Кирсанова, Юлия Семенюк | Сиверская гимназия | 20 | |
| Г4: Роман Артюхов, Анастасия Вязовская, Виктор Гордиенко | Гатчинский лицей № 3 | 20 | |
| Л1: Евгения Самодумова, Алексей Тринеев, Мария Чуприна | Лужская школа № 3 | 20 | |
| С4: Наталья Вершинина, Екатерина Данильченко, Илья Курников | Сиверская гимназия | 19 | |
| Г1: Александра Бибик, Ксения Бобрикова, Дмитрий Ваганов | Гатчинский лицей № 3 | 19 | |
| С10: Александр Гончаров, Дарья Пивоварова, Никита Постнов | Сиверская гимназия | 18 | |
| Л5: Регина Жукова, Любовь Карпова, Тимур Мамаджанов | Лужская школа № 3 | 18 | |
| Г8: Григорий Дедю, Никита Дедю, Артём Кашенко | Гатчинский лицей № 3 | 17 | |
| Л2: Анна Гасанова, Роман Иванов, Екатерина Носкова | Лужская школа № 3 | 16 | |
| Г9: Никита Афанасьев, Георгий Герлиман, Марина Ласакова | Гатчинский лицей № 3 | 12 | |
| С7: Алексей Ананьев, Георгий Лязев, Александр Степановский | Сиверская гимназия | 11 | |
| Л6: Анна Ильина, Дмитрий Нестеров, Артём Николаев | Лужская школа № 3 | 11 | |
| Г5: Татьяна Малиновская, Андрей Павлов, Герман Таза | Гатчинский лицей № 3 | 10 | |
| Г7: Сергей Ашкинадзи, Василий Крутиков, Артур Прокофьев | Гатчинский лицей № 3 | 10 | |
| Л8: Артём Витязев, Егор Голованов, Евгения Гурчева | Лужская школа № 3 | 10 | |
| С5: Анастасия Алексеева, Дарья Вологдина, Елизавета Симон | Сиверская гимназия | 9 | |
| Г2: Вениамин Агеев, Виктория Семёнова, Никита Ткаченко | Гатчинский лицей № 3 | 9 | |
| Г10: Маргарита Волканова, Станислав Дмитриев, Ал-др Удалов | Гатчинский лицей № 3 | 9 | |
| С6: Анна Баулина, Игорь Иванов, Дмитрий Огородник | Сиверская гимназия | 5 | |
| С9: Виктор Зуев, Борис Макаров, Андрей Урбас | Сиверская гимназия | 4 | |
| Л7: Максим Лаптев, Владислав Разумов, Дмитрий Романов | Лужская школа № 3 | 3 | |
| С8: Александра Дымова, Екатерина Спиридонова, Даниил Фёдоров | Сиверская гимназия | 2 |