Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Математическая регата школьников 7–8 классов Гатчинского и Лужского районов (Сиверская гимназия, 7 февраля 2008 г.)

Задачи

1 тур. 10 мин. Задачи по 5 баллов

1.1.  Вычислите  $1234\cdot 5678567856785678 - 5678\cdot 1234123412341234$.

1.2.  Какое наибольшее количество лучей на плоскости может выходить из одной точки так, чтобы каждый угол, образованный двумя соседними лучами, был больше $66^\circ$ ?

1.3.  Рома написал на $2008$ карточках натуральные числа  $10$, $10^2$, ..., $10^{2008}$ (по одному числу на каждой карточке). Затем часть карточек (но не менее одной) он положил в правый карман, часть — в левый, а остальные выбросил. Может ли сумма чисел в правом кармане оказаться равной сумме чисел в левом кармане?

2 тур. 15 мин. Задачи по 6 баллов

2.1.  Гвоздь, три винта и два шурупа вместе весят 24 грамма; два гвоздя, четыре шурупа и пять винтов вместе весят 44 грамма. Сколько весят вместе три гвоздя, четыре винта и шесть шурупов?

2.2.  Три наследника разделили квадратный садовый участок со стороной 60 метров на три прямоугольные части равной площади. При этом каждые два наследника стали соседями. Какова общая длина забора, построенного внутри участка для отделения трёх частей друг от друга?

2.3.  Известно, что  $35! = 10333147966386144929*66651337523200000000$, где звёздочкой обозначена неизвестная цифра. Чему она равна? (Напомним, что $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot(n-1)\cdot n$.)

3 тур. 20 мин. Задачи по 7 баллов

3.1.  Чайку кормят с плывущего катера. Вниз бросают кусок хлеба, чайка за 3 секунды поднимает его с поверхности моря, а затем за 12 секунд догоняет катер. Войдя в залив, катер уменьшил скорость в два раза. Какое время теперь потребуется чайке, чтобы догнать катер, после того как она поднимет кусок хлеба?

3.2.  В остроугольном треугольнике $ABC$  у медианы $AM$и высоты $BH$ длины одинаковы, а углы $MAB$ и $HBA$  имеют равные величины. Докажите, что треугольник $ABC$ — равносторонний.

3.3.  В шахматном турнире играли пять человек. Каждый из них сыграл с каждым по одному разу. Победитель партии получал 1 очко, проигравший — 0 очков, а если партия заканчивалась вничью, то каждый получал по 0,5 очка. Известно, что половина партий турнира закончилась вничью, а игрок, занявший последнее место, проиграл все партии. Какое место занял игрок, набравший 3 очка?

4 тур. 25 мин. Задачи по 8 баллов

4.1.  Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что выражения $\dfrac{a+b}{c}$, $\dfrac{b+c}{a}$ и $\dfrac{c+a}{b}$  принимают одинаковое значение. Какое?

4.2.  Каждый из трёх равных разносторонних треугольников разрезали по медиане, проводя эти медианы к различным сторонам. Всегда ли из получившихся шести треугольников можно составить новый треугольник?

4.3.  Сколькими способами можно заполнить таблицу  $5\times 5$ клеток нулями и единицами так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была чётной?

Итоговый протокол

Максимальное число баллов, которые могла набрать команда, равнялось 78.

состав команды номер команды,
территория		 сумма баллов диплом
Юлия Акимова (7 кл.), Сергей Арефьев (7 кл.), Роман Архангельский (8 кл.)Л4, Луга, группы ЗМШ28I
Рустам Азимов (7 кл.), Полина Жорникова (7 кл.), Михаил Курицын (8 кл.)Л4, Луга, группы ЗМШ27I
Владислав Михеев (8 кл.), Александр Мыскин (8 кл.), Анастасия Якимова (8 кл.)С6, Сиверский, гимназия25II
Екатерина Виноградова (8 кл.), Елизавета Левина (8 кл.), Фёдор Лямин (8 кл.)К1, Коммунар, ср. школа22III
Инна Азарова (8 кл.), Ирина Бояркина (8 кл.), Дарья Глебова (8 кл.)С7, Сиверский, гимназия13 
Николай Иванов (8 кл.), Дмитрий Лифанов (8 кл.), Олег Эленд (8 кл.)С2, Сиверский, гимназия12 
Иван Белехов (7 кл.), Евгений Фролов (7 кл.), Вячеслав Шалагинов (8 кл.)Л3, Луга, группы ЗМШ12 
Диана Белова (8 кл.), Михаил Забивалов (8 кл.), Константин Огренич (8 кл.)С2, Сиверский, гимназия10 
Пётр Заболотников (7 кл.), Филипп Кузнецов (7 кл.), Максим Федоренко (7 кл.)С1, Сиверский, гимназия9 
Маргарита Бурилова (7 кл.), Валерия Жижикова (7 кл.), Константин Новиков (7 кл.)С5, Сиверский, гимназия9 
Александр Дмитренок (7 кл.), Никита Михайлов (7 кл.), Полина Старостина (7 кл.)Л6, Луга, ср. шк. № 39 
Даниил Иванов (7 кл.), Анастасия Санец (7 кл.), Юлия Форсман (7 кл.)Л7, Луга, ср. шк. № 36 
Юрий Горбатенко (7 кл.), Денис Григорьев (7 кл.), Сергей Лесонен (7 кл.)К2, Коммунар, ср. школа3 
Юлия Испирян (7 кл.), Павел Покровский (7 кл.), Владислав Федосов (7 кл.)С4, Сиверский, гимназия2 
Татьяна Игнатьева (7 кл.),Роман Мусин (7 кл.), Алёна Черёмухина (7 кл.)Л2, Луга, ср. шк. № 31 
Клим Баулин (7 кл.), Дмитрий Вараксин (7 кл.), Сергей Макушкин (7 кл.)С8, Сиверский, гимназия0 
Андрей Дресвянников (7 кл.), Сергей Ларкин (8 кл.), Анастасия Фёдорова (7 кл.)Л1, Луга, ср. шк. № 30 


  Последнее обновление 23 февраля 2008 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна