1. У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены 4 одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка — либо головой вверх, либо головой вниз, но где как — не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до 4 штук) и переворачивает их. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки были перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все 4 селёдки будут расположены головами в одну сторону. Сможет ли Али-Баба за несколько ходов открыть пещеру?
2. Существует ли число из 10 различных цифр, которое после умножения на 2 даёт число, у которого тоже все цифры различны?
3.
Во вписанном четырёхугольнике 
точка 
— середина
стороны 
,
.
Докажите, что 
.
4. В зале сидят 100 человек, каждый из которых знаком не менее чем с 66 из 99 остальных присутствующих. Может ли оказаться, что среди любых четверых есть двое, не знакомых друг с другом?
5.
Дано уравнение
.
Сколько оно имеет таких целых решений, что оба неизвестных принадлежат
числовому отрезку ![$[-2009; 2009]$](/img/si_ma/00000288.gif "$[-2009; 2009]$"){kind=small}
?
6. Имеются 66 яблок, любые два из которых отличаются по массе не более чем в 2 раза. Обязательно ли все эти яблоки удастся разложить в 33 пакета по 2 яблока так, чтобы массы любых двух пакетов отличались не более чем в 1,5 раза?
7.
Дан остроугольный треугольник 
и три квадрата, диагоналями которых являются отрезки
,
,
соответственно.
Может ли оказаться, что эти три квадрата не полностью накрывают
треугольниктреугольник ?
8.
Можно ли 
представить в виде суммы трёх обыкновенных дробей,
числители которых — единицы,
а знаменатели — различные натуральные числа?
9.
Докажите, что если
,
— ненулевые числа, то
10.
В строку выписали три целых числа: 
.
Под ними, строчкой ниже, записываются разности: сначала от первого числа
отнимается второе, потом от второго — третье,
затем от третьего — первое, т. е.
получают строку
.
Аналогично получают из второй строки третью, из третьей —
четвёртую и т. д.
Может ли в 2010-ой строке оказаться число 2009 ?
Команда 1:
Курицын Михаил (ЗМШ, капитан),
Михеев Владислав (Сиверская гимназия, зам. капитана),
Добровольский Николай (8),
Измайлова София (8),
Ларкин Сергей (ЗМШ),
Марков Александр (8),
Синюк Евгений (8),
Фёдорова Наталья (8).
Команда 2:
Шалагинов Вячеслав (ЗМШ, капитан),
Белехов Иван (ЗМШ, зам. капитана),
Арефьев Сергей (ЗМШ),
Безымянных Ольга (8),
Захаров Илья (8),
Ерёменко Николай (ЗМШ),
Косян Давид (8),
Ляпара Анастасия (8).
Примечания:
8 — МОУ «СОШ № 8 „Центр образования“»
г. Гатчины,
ЗМШ — Лужские группы Заочной математической школы.
