Задачи

1. (4 балла, 3 минуты) Чем является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнению  ?

2. (3 балла, 3 минуты) В выпуклом четырёхугольнике суммы синусов противоположных углов равны. Можно ли утверждать, что у этого четырёхугольника есть равные стороны?

3. (4 балла, 3 минуты) ,   — такие положительные числа, что уравнение   имеет решение, а уравнение   не имеет решения. Может ли при этом оказаться, что  ?

4. (4 балла, 3 минуты) Расставьте натуральные числа от 1 до 10 в некотором порядке так, чтобы среди сумм двух соседних чисел было как можно больше простых чисел.

5. (4 балла, 3 минуты) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

6. (4 балла, 3 минуты) На сторонах и диагоналях выпуклого четырёхугольника расставлены стрелки так, что образовались 6 векторов. Для какого наибольшего числа треугольников суммы векторов, идущих по их сторонам, могут быть равны нулевому вектору?

7. (4 балла, 3 минуты) Сколькими способами можно разменять 1 рубль, располагая достаточным количеством одно-, пяти- и десятикопеечных монет?

8. (4 балла, 2 минуты) Среди всех чисел отрезка укажите все те, которые удовлетворяют уравнению .

9. (3 балла, 1 минута) Стол расчерчен на единичные квадратики, и на одном из них находится кубик (см. рисунок). Кубик 4 раза перекатывают через ребро (по направлению указанных стрелок). На каких гранях кубика (верхней, нижней, левой, правой, передней, задней) находятся теперь единица, двойка и тройка?

10. (5 баллов, 4 минуты) Функция задана на множестве всех действительных чисел формулой

Найдите её наименьшее значение и укажите, при каком значении аргумента оно достигается.

11. (4 балла, 4 минуты) На стороне треугольника выбраны точки и так, что лежит между и . Оказалось, что лучи и поделили угол на три равные части, причём , , , . Докажите, что отрезок вчетверо длиннее отрезка .

12. (3 балла, 3 минуты) , ,  — различные натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию. Может ли сумма быть целым числом?

13. (4 балла, 3 минуты) Укажите как можно больше способов представления числа 134 в виде суммы трёх квадратов натуральных чисел.

14. (4 балла, 3 минуты) ,   — иррациональные числа. Может ли число  оказаться рациональным?

15. (4 балла, 3 минуты) Единичный квадрат разделили на 9 равных квадратов и центральную часть выкрасили. С каждым из 8 не выкрашенных квадратов проделали то же самое. Когда операцию совершили 100 раз, сосчитали величину закрашенной площади . Укажите такое , чтобы было верным равенство . Постарайтесь, чтобы  было как можно меньше.

Итоговый протокол

название (номер) школы и состав команды	сумма баллов	место
школа № 3 Александров Георгий, Ермаков Александр, Солдатов Кирилл	31	I
школа № 3 (в/к) Воробьёв Юрий, Пухова Анастасия, Степанова Светлана	20
Заклинская школа Антипов Иван, Фёдоров Илья, Чернов Михаил	6	II
школа Городка Григорьева Татьяна, Попова Екатерина, Тимошин Иван	4	III
школа № 2 Гуркова Елена, Дресвянникова Маргарита, Коваленко Светлана	2	4

По правилам, каждая школа района заявляет для участия в УКО только одну команду, которая и определяет место школы в этом соревновании. Однако жюри обычно допускает для участия в олимпиаде и внеконкурсные команды, результаты которых не влияют на официальные показатели школы (такие команды отмечены в/к ).