Математик и чёрт

[LNV]

Это форум назван в честь фильма "Математик и чёрт". https://www.youtube.com/watch?v=52yhBkkulXw

Его создали два ученика Сиверской гимназии для решения олимпиадных задач по математике и не только...
______________________________________________________________________________________________________________________________
Также, на этом форуме не возбраняется что-то писать другим людям, увлекающимся математикой.
Мы всегда будем рады вашей помощи .

[LNV]

Задачи из книги "Целые числа" (Санкт-Петербург, 2009 год).

Тема: Определение и простейшие свойства делимости.
1. Докажите, что число натуральных делителей числа n не превосходит 2 sqrt(n). (sqrt - квадратный корень, программисты поймут )

Тема: Признаки делимости.
1. В записи каждого из чисел a, b (a не равно b) используются все цифры 1,2,3,4,5,6,7, при чём каждая по одному разу. Докажите, что а не делится на b.

Тема: Наибольший общий делитель.
1. Натуральные числа a,b,x и y таковы, что ax+by делится на a²+b². Докажите, что числа x²+y² и a²+b² имеют общий делитель, больший 1.

Тема: Взаимно простые числа.
1. Найдите НОД(2ⁿ-1, 2^m-1).
2. Пусть m и n - взаимно простые числа. Какие значения может принимать: а) НОД(5m+n, 7m+3n); б) НОД(m+n, m²+n²)?

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными.
1. Решите уравнения в целых числах:
а) 6x²-xy-2y²=5
б) (x²-2)(3x+y)=5x-2y.

Тема: Простые числа.
1. Докажите, что если p - простое число, то остаток от деления p на 30 есть либо 1, либо простое число.
2. Докажите, что всякое простое число, больше 3, имеет либо вид 6n+1, либо вид 6n-1.
3. Найдите все такие простые числа p, что числа p+2, p+4 также являются простыми.
4. Докажите, что если числа p, 2p+1 простые и p>3, то число 4p+1 составное.
5. Докажите, что если числа p, 8p+1 простые, то и число 8p²+2p+1 простое.
6. Натуральные числа х и y, большие 1, таковы, что x2+y2-1 делится на x+y-1. Докажите, что x+y-1 - составное число.
7. Натуральные числа a, b и n>1 таковы, что (a+b)ⁿ делится на ab. Докажите, что a^n-1 делится на b.

Если вы хотите что-то написать по предложенным задачам (например, решение одной из них), то, пожалуйста, укажите тему и номер задачи.

[LNV]

Задачи из книги "Целые числа" (Санкт-Петербург, 2009 год).

Тема: Определение и простейшие свойства делимости.
1. Докажите, что число натуральных делителей числа n не превосходит 2 sqrt(n). (sqrt - квадратный корень, программисты поймут )

Тема: Признаки делимости.
1. В записи каждого из чисел a, b (a не равно b) используются все цифры 1,2,3,4,5,6,7, при чём каждая по одному разу. Докажите, что а не делится на b.

Тема: Наибольший общий делитель.
1. Натуральные числа a,b,x и y таковы, что ax+by делится на a²+b². Докажите, что числа x²+y² и a²+b² имеют общий делитель, больший 1.

Тема: Взаимно простые числа.
1. Найдите НОД(2ⁿ-1, 2^m-1).
2. Пусть m и n - взаимно простые числа. Какие значения может принимать: а) НОД(5m+n, 7m+3n); б) НОД(m+n, m²+n²)?

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными.
1. Решите уравнения в целых числах:
а) 6x²-xy-2y²=5
б) (x²-2)(3x+y)=5x-2y.

Тема: Простые числа.
1. Докажите, что если p - простое число, то остаток от деления p на 30 есть либо 1, либо простое число.
2. Докажите, что всякое простое число, больше 3, имеет либо вид 6n+1, либо вид 6n-1.
3. Найдите все такие простые числа p, что числа p+2, p+4 также являются простыми.
4. Докажите, что если числа p, 2p+1 простые и p>3, то число 4p+1 составное.
5. Докажите, что если числа p, 8p+1 простые, то и число 8p²+2p+1 простое.
6. Натуральные числа х и y, большие 1, таковы, что x²+y²-1 делится на x+y-1. Докажите, что x+y-1 - составное число.

Тема: Сравнения.
1. Пусть р - простое число. Докажите, что если а^р-b^р делится на р, то и (а^р-b^р)/(а-b) делится на р (в книге говорится, что то же верно без предположения простоты, но доказать труднее).
2. Докажите, что если a+b+c делится на 30, то a⁵+b⁵+c⁵ делится на 30.
3. Пусть m - простое число, а - целое число, причём а не делится на m. Докажите, что существует такое целое b что ab=1(modm). Обобщите это утверждение на случай составного m.
4. Пусть р - простое число. Докажите, что (р-1)!=-1(modp). (В книге даётся указание: для каждого целого а, 2<a<p-2, найдите такое целое b, 2<b<p-2, что a не равно b, ab=1(modp).)
5. Пусть a, m₁,m₂,...,m_k - целые числа, причём m₁,m₂,...,m_k попрано взаимно просты. Докажите, что существует такое целое число х, что х=а(modm₁), x=0(modm₂),..., x=0(modm_k).
6. Пусть a₁,а₂,..., а_k, m₁,m₂,...,m_k - целые числа, причём m₁,m₂,...,m_k попрано взаимно просты. Докажите, что существует такое целое число x, что х=а₁(modm₁), x=а₂(modm₂),..., x=a_k(modm_k). (В книге даётся указание: воспользуйтесь результатом задачи 10.)
Примечание. Утверждение задачи 6 - это так называемая "Китайская теорема об остатках".

Если вы хотите что-то написать по предложенным задачам (например, решение одной из них), то, пожалуйста, укажите тему и номер задачи.

[LNV]

Задачи из книги "Целые числа" (Санкт-Петербург, 2009 год).

Тема: Определение и простейшие свойства делимости.
1. Докажите, что число натуральных делителей числа n не превосходит 2 sqrt(n). (sqrt - квадратный корень, программисты поймут )

Тема: Признаки делимости.
1. В записи каждого из чисел a, b (a не равно b) используются все цифры 1,2,3,4,5,6,7, при чём каждая по одному разу. Докажите, что а не делится на b.

Тема: Наибольший общий делитель.
1. Натуральные числа a,b,x и y таковы, что ax+by делится на a²+b². Докажите, что числа x²+y² и a²+b² имеют общий делитель, больший 1.

Тема: Взаимно простые числа.
1. Найдите НОД(2ⁿ-1, 2^m-1).
2. Пусть m и n - взаимно простые числа. Какие значения может принимать: а) НОД(5m+n, 7m+3n); б) НОД(m+n, m²+n²)?

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными.
1. Решите уравнения в целых числах:
а) 6x²-xy-2y²=5
б) (x²-2)(3x+y)=5x-2y.

Тема: Простые числа.
1. Докажите, что если p - простое число, то остаток от деления p на 30 есть либо 1, либо простое число.
2. Докажите, что всякое простое число, больше 3, имеет либо вид 6n+1, либо вид 6n-1.
3. Найдите все такие простые числа p, что числа p+2, p+4 также являются простыми.
4. Докажите, что если числа p, 2p+1 простые и p>3, то число 4p+1 составное.
5. Докажите, что если числа p, 8p+1 простые, то и число 8p²+2p+1 простое.
6. Натуральные числа х и y, большие 1, таковы, что x²+y²-1 делится на x+y-1. Докажите, что x+y-1 - составное число.
7. Докажите, что любое целое чётное a>2 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Тема: Сравнения.
1. Пусть р - простое число. Докажите, что если а^р-b^р делится на р, то и (а^р-b^р)/(а-b) делится на р (в книге говорится, что то же верно без предположения простоты, но доказать труднее).
2. Докажите, что если a+b+c делится на 30, то a⁵+b⁵+c⁵ делится на 30.
3. Пусть m - простое число, а - целое число, причём а не делится на m. Докажите, что существует такое целое b что ab=1(modm). Обобщите это утверждение на случай составного m.
4. Пусть р - простое число. Докажите, что (р-1)!=-1(modp). (В книге даётся указание: для каждого целого а, 2<a<p-2, найдите такое целое b, 2<b<p-2, что a не равно b, ab=1(modp).)
5. Пусть a, m₁,m₂,...,m_k - целые числа, причём m₁,m₂,...,m_k попрано взаимно просты. Докажите, что существует такое целое число х, что х=а(modm₁), x=0(modm₂),..., x=0(modm_k).
6. Пусть a₁,а₂,..., а_k, m₁,m₂,...,m_k - целые числа, причём m₁,m₂,...,m_k попрано взаимно просты. Докажите, что существует такое целое число x, что х=а₁(modm₁), x=а₂(modm₂),..., x=a_k(modm_k). (В книге даётся указание: воспользуйтесь результатом задачи 10.)
Примечание. Утверждение задачи 6 - это так называемая "Китайская теорема об остатках".

Если вы хотите что-то написать по предложенным задачам (например, решение одной из них), то, пожалуйста, укажите тему и номер задачи.

[PSP]

Уж коли в названии темы упомянут чёрт, то, видимо, в ней можно предложить и такую "чертовски сложную" задачу.

Рассмотрим некоторый многочлен P(x), степень которого не менее 2, а коэффициенты - цифры (т. е. целые числа от 0 до 9).

Какие из следующих теорем верны, а какие - нет?

1. Если многочлен P(x) не раскладывается на множители, то число P(10) - простое.

2. Если число P(10) - составное, то многочлен P(x) раскладывается на множители.

3. Если многочлен P(x) раскладывается на множители, то число P(10) - составное.

[LNV]

Уж коли в названии темы упомянут чёрт, то, видимо, в ней можно предложить и такую "чертовски сложную" задачу.

Рассмотрим некоторый многочлен P(x), степень которого не менее 2, а коэффициенты - цифры (т. е. целые числа от 0 до 9).

Какие из следующих теорем верны, а какие - нет?

1. Если многочлен P(x) не раскладывается на множители, то число P(10) - простое.

2. Если число P(10) - составное, то многочлен P(x) раскладывается на множители.

3. Если многочлен P(x) раскладывается на множители, то число P(10) - составное.

Первая и вторая теоремы не верны.
Контрпример: рассмотрим многочлен P(x)=x²+3x+5. Его степень 2 (что удовлетворяет условию степень многочлена должна быть не менее 2), коэффициенты - цифры (т. е. целые числа от 0 до 9) и он не раскладывается на множители (т.к. D<0). P(10)=100+30+5=135 - не простое число. Следовательно, первая теорема не верна. И наоборот. P(10)=135 - составное, но многочлен не раскладывается на множители. Следовательно, и вторая теорема не верна.

[PSP]

LNV прав: теоремы 1 и 2 ложны.
А что по проводу теоремы 3?

[LNV]

LNV прав: теоремы 1 и 2 ложны.
А что по проводу теоремы 3?

Терема 3 тоже ложная!
Контрпример: рассмотрим многочлен P(x)=x²-18x+81. Его степень 2 (что удовлетворяет условию, что степень многочлена должна быть не менее 2), коэффициенты - цифры (т. е. целые числа от 0 до 9) и он раскладывается на множители - P(x)=x²-18x+81=(x-9)(x-9).
P(10)=1*1=1 - не составное. Следовательно, теорема 3 не верна.

[PSP]

Второй и третий коэффициенты выше приведённого LNV многочлена, конечно же, цифрами не являются.
Но пример LNV легко подправить.
LNV - молодец!

Итак, все три теоремы ложные.

Но... СКАЗКА - ЛОЖЬ, ДА В НЕЙ НАМЁК.

Ещё одна "чертовски сложная задача":
раскладывается ли на множители многочлен x⁴ + 3x³ + 7x² + 7x + 6 ?

[PSP]

В связи с вопросом, который я сформулировал (о том, раскладывается ли многочлен на множители), пользователь UDA прислал мне вот какой вопрос:
есть ли такая теорема:многочлен любой степени раскладывается тогда и только тогда, когда он имеет корни?

Давайте вместо выяснения ответа на вопрос UDA займёмся несколько иным/

Вопрос
Правда ли, что
многочлен раскладывается на множители тогда и только тогда, когда он имеет корни?

Если теорема не верна, то приведите контрпримеры (ибо в теореме UDA по сути 2 теоремы), а также верные теоремы следующего вида:
Теорема А. Если многочлен P(x) имеет степень более 1 и корень x = a, то ... (нечто о разложении P(x) на множители).
Теорема B. Если многочлен P(x) ... (нечто о разложении P(x) на множители), то ... (нечто о корнях P(x)).

[PSP]

Никто не может ответить на вопрос?

Трудный вопрос_30.jpg (21.78 КБ) 61707 просмотров

Помимо вопроса, по-прежнему "висит" и
"чертовски сложная задача", выложенная мною в этой теме 9 июня в 13:53.

[PSP]

Итак, без ответа остаётся "чертовски сложный" вопрос

Чёрт_30.jpg (33.73 КБ) 61684 просмотра

Правда ли, что
многочлен раскладывается на множители тогда и только тогда, когда он имеет корни?
Если теорема не верна, то приведите контрпримеры (ибо выше по сути 2 утверждения), а также верные теоремы следующего вида:
Теорема А. Если многочлен P(x) имеет степень более 1 и корень x = a, то ... (нечто о разложении P(x) на множители).
Теорема B. Если многочлен P(x) ... (нечто о разложении P(x) на множители), то ... (нечто о корнях P(x)).

Плюс пустяковый вопросик:
раскладывается ли на множители многочлен x⁴ + 3x³ + 7x² + 7x + 6 ?
("Нежные" подсказки уже даны выше в этой теме; время "грубых" подсказок, надеюсь, ещё не наступило).

[Влад]

Что тут вообще происходит?

[LNV]

Что тут вообще происходит?

Здесь пишут третий том "Мёртвых душ".

[UDA]

Теорема "многочлен раскладывается на множители тогда и только тогда, когда он имеет корни" ложная. Контрпример: многочлен x⁴+2x²+1=0 не имеет корней, но раскладывается на множители: (x²+1)²=0.
Теорема А:
Если многочлен P(x) имеет степень более 1 и корень x = a, то в его разложении на множители должен присутствовать многочлен имеющий корень x=a.
Теорема В:
Если многочлен P(x) в разложении на множители имеет многочлен с корнем x=a, то этот корень является корнем многочлена P(x).
Доказательство теоремы А:
Представим многочлен P(x) в виде произведения многочленов P₁(x), P₂(x),... Тогда корнем многочлена P(x) будет такое число, которое обращает в ноль этот многочлен, а значит и хотя бы один из многочленов P₁(x), P₂(x),..., то есть число, являющееся корнем хотя бы одного из этих выражений. Следственно корень x=a многочлена P(x) должен являться корнем одного из многочленов в его разложении на множители.
Доказательство теоремы B:
Представим многочлен P(x) в виде произведения многочленов P₁(x), P₂(x),... Тогда число a, являющееся корнем одного из многочленов P₁(x), P₂(x),..., обращает в ноль все произведение этих многочленов, а значит и многочлен P(x). Из этого можно сделать вывод, что a является корнем многочлена P(x).