Всероссийский конкурс решения задач

[PSP]

Мы продолжаем участвовать во Всероссийском конкурсе решения математических задач. Дерзайте! Подробнее...

[PSP]

В этом конкурсе мы участвовали в 2016-2017, 2017-2018, 2018-2019 уч. гг.
Причём, весьма успешно: все эти годы мы становились лучшим математическим кружком России, занимая 1-е место.
См. Конкурс 2016-2017 уч. г. Конкурс 2017-2018 уч. г. Конкурс 2018-2019 уч. г.

[PSP]

Задачи 1-го тура
(срок отправки решений - до 1 октября 2019 г)

1. Вася хочет выбрать среди чисел а) 1, 2, ..., 50; б) 1, 2, ..., 51 как можно больше чисел так, чтобы любые два числа различались хотя бы на 3. Сколько способов у Васи сделать это?

2. Квантик загадал целое число от 0 до 99, а Ноутик его отгадывает. Число считается отгаданным, если Ноутик его назвал. За ход Ноутик называет четыре целых числа от 0 до 99, обладающих одним из двух свойств: либо первый разряд у всех чисел совпадает, а вторые разряды последовательные, либо второй разряд у всех чисел совпадает, а первые разряды последовательные (у однозначных чисел первый разряд считаем равным 0). Например, наборы 13, 14, 15, 16 и 3, 13, 23, 33 подходят, а набор 18, 19, 20, 21 — нет. За какое минимальное число ходов Ноутик может гарантированно отгадать число?

3. Дан отрезок a и правильный треугольник со стороной b. Постройте (циркулем и линейкой) внутри него правильный треугольник со стороной a такой, чтобы вершины внешнего треугольника лежали на продолжениях сторон внутреннего.

4. Верно ли, что числа вида 1 + x + x²⁰¹⁷ + x²⁰¹⁸ + x²⁰¹⁹ являются составными для всех натуральных x > 1?

[PSP]

"Лето - это маленькая жизнь". И БОЛЬШАЯ СПЯЧКА

Первым за решения задач конкурса взялся Даувальтер Роберт (Луга).
Второй была Павлова Людмила (Гатчина).

И Роберт, и Людмила попробовали решить задачу № 1. Но пока то, что они придумали, решением считать, увы, нельзя.

И всё пока. Остальные ещё спят?

Примечание:
Разумеется, судить о решении задач конкурса я могу пока исключительно по тому, что мне присылают мои ученики.

[PSP]

Осталась одна...

Роберт понял, что невнимательно прочитал условие и решал иную задачу.
На поле боя осталась только Люда?

[PSP]

НАЧАЛО ПОЛОЖЕНО!

Тюков Даниил прислал решение одной из задач. (Какой именно - я пока держу в секрете).

Во_60.jpg (58.56 КБ) 24356 просмотров

[PSP]

ЗАДАЧА № 3 НЕ ПОДДАЁТСЯ

Настойчивые (почти героические) попытки решить задачу № 3 предпринимает Даувальтер Роберт. Но... увы!

ЗАДАЧА № 1 ОКАЗАЛАСЬ НЕ СТОЛЬ ПРОСТОЙ

Но, похоже это осознала только Павлова Людмила...

[PSP]

ДВОЕ ПРОТИВ ЗАДАЧИ № 3

Теперь задачу № 3 атакуют двое: Тюков Даниил и Даувальтер Роберт.
Но о победе или капитуляции пока говорить рано...

Много-много учащихся из Гатчины и Луги (все, кроме троих) продолжают, похоже, спать и ждать.

[PSP]

ТЕПЕРЬ ЗАДАЧУ № 3 АТАКУЮТ ТРОЕ

К лужанину Даувальтеру Роберту и гатчинцу Тюкову Даниилу присоединилась Ефимова Кристина (тоже из Гатчины).
С задачей № 1 борется в одиночку Павлова Людмила (Гатчина).

Но пока задачи оказываются сильнее.

[PSP]

ГЕОМЕТРИЯ - АХИЛЛЕСОВА ПЯТА,
А ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ - АХИЛЛЕСОВА ПЯТА ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
И так обстоит дело не только у гатчинских школьников...

Похоже, Фетида - мать всероссийская. Да и Стикс протекает повсюду...
Правда, от этого гатчинским школьникам не легче.
Тюков Даниил (и только он!) предпринял ещё одну попытку решить задачу № 3. Увы, неудача.

Ахиллесова пята.jpg (35.71 КБ) 24178 просмотров

Летняя спячка продолжается, увы, у многих...
А Парис уже приближается!

[PSP]

ПРОБЛЕСК ПО ЗАДАЧЕ № 4

На занятии гатчинской группы 8-11 классов наметилось некое движение.
Благодаря общим усилиям и догадливости Пластун Виктории, удалось решить маленькую задачу - о разложении на множители многочлена 1 + x + x¹⁷ + x¹⁸+ x¹⁹.

[PSP]

О ЗАДАЧЕ № 1

Павлова Людмила придумала в задаче № 1 а доказательство того, почему максимальное количество выбранных чисел именно таково.А вот почему число способов выбора максимального количества чисел такое, как многим кажется, пока не доказано.

[PSP]

ЕЩЁ ОДНА АТАКА НА ЗАДАЧУ № 3

Её предприняла Фёдорова Алина. Но пока задача не поддаётся.

[PSP]

УРА! ЛУГА ПРОСНУЛАСЬ

Точнее, в Луге проснулся ещё один человек (кроме Даувальтера Роберта). Это Боднар Алёна.

Она присоединилась к атаке на задачу № 3 (увы, пока тоже неудачно) и прислала решение задачи № 2, которое обсудим сегодня на занятии.

[PSP]

ПРОРЫВ ПО ЗАДАЧЕ № 4

Павлова Людмила прислала решение задачи № 4. Правда, в её решении есть некое утверждение, которое, думается, надо бы всё же доказать, а не считать его очевидным.