ЗМШ. 8-11 кл., 2019-2020 уч. г.

[PSP]

ЗАДАЧА № 3 ТОЖЕ РЕШЕНА

Её решение прислала Павлова Людмила.

[PSP]

ТЕРПЕНИЕ И ТРУД

Павлова Людмила прислала и решение задачи № 5.
Его мы обсудим либо на учебных сборах 15 октября, либо на занятии 17 октября.

[PSP]

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

По задачам с 1 по 16 оценка "+", за задачу № 17 оценка "0".

Оценка группе за работу по теме № 1 - 5.

Из рецензии на работу

2. Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на 120.

1. Для большей ясности в решении следовало бы подчеркнуть, что числа 3,5,8 – взаимно простые. По этой причине произведение данных пяти чисел кратно 3х5х8=120. В противном случае ваше рассуждение не имеет силы. Скажем, в произведении 1х8 есть сомножитель кратный 8, и есть сомножитель, кратный 4. Однако, произведение не кратно числу 8х4.
2. Заметим, что 120=5!. Тем самым, мы доказали, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на 5!. Нельзя ли обобщить утверждение этой задачи? Не будет ли верным такое утверждение:
Произведение k последовательных целых чисел кратно k! (*)
Очевидно, что оно справедливо для k = 2. Легко проверить его и для k = 3, 4. Для k = 5 мы его уже доказали. Нельзя ли продвинуться дальше?
P.S. Если проделать кое-какие переобозначения и мобилизовать познания в комбинаторике, то (*) удастся доказать до обидного просто.

7. Решите в целых числах уравнение: x + y = xy.

Вы разделили обе части уравнения на x - 1. Это допустимо, если x отлично от 1 . Значит, следовало выяснить, является ли 1 решением уравнения. Легко проверить, что нет, тем самым, новое уравнение равносильно исходному.
Другой подход. Перенесем все в одну часть и добавим к обеим частям 1, затем левую часть разложим на множители: (x - 1)(y -1) = 1.
Либо оба сомножителя равны 1, либо оба равны –1.

[PSP]

ОСТАЛОСЬ НЕМНОГО

После предпринятого в лагере штурма осталось в контрольной работе по теме № 2 сделать только вот что:

- задача № 7 в части доказательства того, что p > 1,4 (то, что p < 1,5, доказано).

- пункт в) задачи № 10 в части доказательства того, что 1/8 суммой менее четырёх указанных дробей не представить
(представление 1/8 суммой четырёх дробей указанного вида получено,
и есть предположение, что 4 - это наименьшее количество слагаемых).

В решении задачи № 10 принимали участие все находящиеся в лагере учащиеся 8-10 классов, но основной вклад внёс Тюков Даниил.

[PSP]

ВСЕ ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2 ВЫПОЛНЕНЫ!

Это сделано 6 ноября на учебных сборах.
Осталось оформить некоторые решения и проверить работу.

[PSP]

ПРОВЕРКА РАБОТЫ ПО ТЕМЕ № 2 - НА ЗАНЯТИИ 21 НОЯБРЯ.

[PSP]

Тема 3. "Комбинаторика и вероятность-2" (срок отправки - 10.01.20).


Условия задач контрольной работы

№ 1 (62) На плоскости отмечены 10 точек, причём никакие три не ле¬жат на одной прямой. Сколько существует треугольников о вершинами в этих точках?
№ 2 (63) Из колоды в 36 кapt выбирают три карты. Какова вероятность того, что все они пиковой масти?
№ 3. (64) Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отрад, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
№ 4 (65) В классе, в котором учатся Петя и Вася, 31 человек. Ско¬лькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя я Вася не входили в команду одновременно?
№ 5 (66) Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 "орлов"?
№ 6 (67) Скольким! способами можно переставить буквы олова "эпи¬граф" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
№ 7 (68) Из колоды в36 карт выбирают 10 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя вы один "туз"?
№ 8 (69) Сколько существует шестизначных чисел, у которых по 3 чётные и нечётные цифры?
№ 9 (70) На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой - 11 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
№ 10 (71) а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команда по 5 человек в каждой? б) Сколькими способами можно вы¬брать два команда по 5 человек в каждой?
№ 11 (72) На шахматную доску произвольным образом ставят три белые пешки, С какой вероятностью все они окажутся на одной горизонтали?
№ 12 (73) Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна 4?
№ 13 (74) Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости троих из них так, чтобы компания ни разу не повторя¬лась. Сколькими способами он может это сделать?
№ 14 (75) Колоду из 36 карт случайным образом делят пополам. Како¬ва вероятность того, что в каждой дачке 0удет по два "туза"?
№ 15 (76) Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать б номеров из имеющихся на карточке 45. Ваня заполнил од¬ну карточку. Какова вероятность того, что он угадает: а) вое шесть номеров? б) ровно три номера?
№ 16 (78) Лестница состоит из 7 ступенек, не считая верхней и ниж¬ней площадок. Спускаясь, можно перепрыгивать через несколько ступе¬нек (можно даже через все 7).. Сколькими способами можно спуститься по этой лестнице?
№ 17 (80) Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2^n–1 способами.
№ 18 (1 в) Докажите, что C_n⁰ – C _n¹ + C_n²– … + (–1)ⁿC_nⁿ = 0.
№ 19 (89) Сколькими способами 12 пятаков южно разложить по 5 различным кошелькам так, чтоьы ни один кошелек не оказался пустым?
№ 20 (91) Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 попарно различных бусин, на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
№ 21 (92) 60 игральных кубиков бросают одновременно. Какова вероятность того, что I, 2, 3, 4, 5. 6 выпадут по десять раз?
№ 22 (93) В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколь¬кими способами можно купить в нём: а) 12 открыток; б) 8 открыток; в) 8 различных открыток?
№ 23 (94) В кошельке лежит по 20 монет достоинством 10, 15 и 20 ко¬пеек. Сколькими способами южно из этих 60 монет выбрать 20?
№ 24 (96) Поезду,в котором находится т пассажиров, предстоит сделать п остановок. а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? б) Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.

[PSP]

На занятии 12 декабря работа по теме 3 проверена и готова к отправке.

[PSP]

Тема 4. "Метод математической индукции" (срок отправки - 15.02.2020)

Условия задач контрольной работы

№ 1 (3 б) Докажите, что для любого натурального числа п справедливо утверждение: 2^2п–1 + 3п + 4 делится на 9.
№ 2 (3 д) Докажите, что для любого натурального числа п справедливо утверждение: 3^3п+2 + 2^4п+1 делится на 11.

Последовательность (a_п) чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... задаётся следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 1, а каждое следующее – сумма двух предыдущих: a_п = a_п-1 + a_п-2 (п ≥ 3).

№ 3. (4 б) Докажите, что для любого натурального числа п справедливо утверждение: a₁ + a₃ + … + a_2п-1 = a_2п.
№ 4 (4 д) Докажите, что для любого натурального числа п справедливо утверждение: a₁² + a₂² + … + a_п² = a_п a_п+1.
№ 1 доп. (4 ж) Докажите, что для любого натурального числа п справедливо утверждение: a_5п делится на 5.
№ 2 доп. (6) Дано п произвольных квадратов. Докажите, что их можно разрезать на части так, что из полученных частей можно сложить новый квадрат. (Здесь самое трудное – база индукции.)
№ 5 (8 б) Докажите тождество 1 + 3 + 5 + … + (2п–1) = п².
№ 6 (8 г) Докажите тождество 1³ + 2³ + 3³ + … + п³ = (п(п+1)/2)².
№ 3 доп. (8 е) Докажите тождество 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … + 1/(2п – 1) – 1/(2п) = 1/( п+1) + 1/(п+2) + … + 1/(2п).
№ 7 (10 а) Докажите неравенство 1/(п+1) + 1/( п+2) + … + 1/2п) > 3/5 (п ≥ 3).
№ 4 доп. (10 г) Докажите неравенство п/2 < 1 + 1/2 + 1/ 3 + … + 1/(2^п-1) < п.
№ 8 (10 г) Докажите неравенство 3^п > п³ (п ≠ 3).
№ 9 (10 д) Докажите неравенство п^п > (п+1)^п-1 (п ≥ 2).
№ 5 доп. (10 ж) Докажите неравенство (2п)! / (п!)² > 4^п / (п+1) (п ≥ 2 ).
№ 10 (16) Дано п положительных чисел x₁, x₂, … , x_п, причём известно, что x₁x₂…x_п = 1. Докажите, что тогда x₁ + x₂ + … + x_п ≥ п.
№ 11 (17) (Неравенство Коши). Дано п положительных чисел x₁, x₂, … , x_п. Докажите, что их среднее арифметическое не меньше, чем среднее геометрическое.
№ 12 (18) (Формула Бине). (a_п) - последовательность Фибоначчи. Докажите формулу a_п = 1/sqrt(5) • ((1+sqrt(5)/2)^п - (1-sqrt(5)/2)^п).
(sqrt – квадратный корень).
№ 6 доп. (19) Докажите тождества:
а) C_п¹ + 2C_п² + ... + пC_п^п = п2^п-1.
б) C_п⁰ + 2C_п¹ + ... + (п+1)C_п^п = (п+2)2^п-1.

[PSP]

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

По всем задачам с № 1 по № 24 (кроме задачи № 15) оценка "+", за задачу № 15 оценка "минус-плюс".

Оценка группе за работу по теме № 3 - 5.

Из рецензии на работу

№ 15(76). Как известно, для участия в лотерее «Спортлото» нужно указать 6 номеров из имеющихся на карточке 45. Ваня заполнил одну карточку. Какова вероятность того, что он угадает: а) все шесть номеров; б) ровно три номера?

1. О множестве всех исходов. Его Вы вычислили правильно. В обоих пунктах данной задачи происходит одно и то же испытание: отмечается 6 из 45 заданных номеров. Значит, множество исходов в обоих пунктах одно и то же, это всевозможные сочетания из 45 по 6.

2. О благоприятных исходах. Они в первом и втором пунктах разные. Чтобы разобраться в этом, положим для определённости, что при розыгрыше (то есть, при определении «счастливых» номеров) выпали номера 1,2,3,4,5,6. Тем самым, все остальные от 7 до 45 это несчастливые номера. В первом пункте мы считаем успехом угадывание всех шести номеров. Значит, из всех возможных сочетаний благоприятным является одно: {1,2,3,4,5,6}. Итак, в п.1 – один благоприятный исход. Это у Вас тоже верно.
Займемся вторым пунктом. Здесь успехом считается угадывание ровно трех номеров. То есть, та шестёрка номеров, которую мы отметили, должна состоять из двух таких троек:
– Первая тройка набирается из запаса счастливых номеров 1,2,3,4,5,6.
– Вторая – из запаса несчастливых номеров 7,8,…45.
Вы подсчитали, каким числом способов можно выбрать первую тройку. Если бы вторую тройку можно было выбрать лишь одним способом, это и было бы число благоприятных исходов. Но вторую тройку можно выбирать разными способами. Остаётся понять, как подсчитать описанные наборы.
Обратим ваше внимание, что в предыдущей задаче – аналогичная ситуация. Там благоприятный исход это набор карт, одна часть которого формируется из одного запаса элементов (тузы), другая часть – из другого (карты, отличные от туза). И если бы предыдущую задачу Вы решили так же, как п.б в этой задаче, у Вас получился бы неверный ответ. В предыдущей задаче Вы его учли, а здесь –про него забыли.

[PSP]

Тема 5. "Геометрические построения циркулем и линейкой" (срок отправки - 20.03.2020)

Условия задач контрольной работы

№ 1. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

№ 2. Построить окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

№ 3. Даны три точки. Провести три параллельные прямые, проходящие соответственно через эти точки и находящиеся на одинаковом расстоянии друг от друга.

№ 4. На заданных параллельных прямых аи bданы по точке А и В. Через данную точку С провести прямую, пересекающую прямые а и b в точках А' и В' таких, что АА' = ВВ'.

№ 5. Провести две параллельные прямые, проходящие соответственно через две данные точки и находящиеся на заданном расстоянии друг от друга.

№ 6. Построить треугольник ABC по a, α, h_a .

№ 7. Внутри данного треугольника АВС построить точку О такую, чтобы площади треугольников АОВ, ВОС и СОА были равны.

№ 8. Построить прямоугольный треугольник, вписанный в данную окружность, катеты которого проходят соответственно через две данные точки, находящиеся внутри этой окружности.

№ 9. Дан угол и две точки внутри него. Провести через эти точки окружность, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

№ 10. Даны окружность и две точки А и В, лежащие на одном диаметре. Построить на окружности точку М такую, что хорды с общим концом М, проходящие через точки A и В были равны.

№ 11. Постройте треугольник ABC по a, h_a и b/c.

№ 12. Впишите в данный четырёхугольник параллелограмм с заданными направлениями сторон.

№ 13. Построить треугольник ABC, если заданы три точки А', В', С' , являющиеся пересечением продолжений его высот с описанной окружностью (оба треугольника ABC и А'В'С' остроугольные).

№ 14. Построить треугольник АВС, если заданы три точки А', В', С', являющиеся пересечением продолжений его биссектрис с описанной окружностью (оба треугольника ABC и А'В'С' остроугольные).

№ 15. Построить треугольник ABC, если заданы три точки А', В', С', симметричные центру описанной около него окружности относительно его сторон.

№ 16. Построить треугольник ABC, если заданы три точки А', В', С', симметричные точке пересечения его высот относительно его сторон (оба треугольника ABC и А'В'С' остроугольные).

[PSP]

Тема 6. "Линейные и кусочно-линейные функции-2".
Срок отправки работы – 25 апреля 2020 г.

Условия задач контрольной работы

№ 1 (4.1 д) Построить график функции y = sign(x² – 2x).
№ 2 (4.1 и) Построить график функции y = |x + signx|.
№ 1 доп. (4.2 в) Решить уравнение sign(2|x - x²|) = (x -2)/2.
№ 3. (4.2 г) Решить уравнение sign(x+5) = |8x -3|.
№ 4 (4.2 д) Решить уравнение sign|3x - 5| = |2 - 7x|.
№ 5 (4.3 в) Изобразить на координатной плоскости фигуру, задаваемую неравенством y > sign|x|.
№ 2 доп. (4.3 г) Изобразить на координатной плоскости фигуру, задаваемую неравенством x ≥ signy.
№ 6 (4.3 д) Изобразить на координатной плоскости фигуру, задаваемую неравенством |x - 2| < sign(1 - y).
№ 7 (5.1 б) Построить график функции y = 3 – [x].
№ 8 (5.1 в) Построить график функции y = sign{x}.
№ 9 (5.1 е) Построить график функции y = x + [x].
№ 10 (5.2 в) Построить график функции y = [|x|].
№ 3 доп. (5.2 з) Построить график функции y = [x² – 2x].
№ 11 (5.3 б) Построить график функции y = |[x]|.
№ 12 (5.3 г) Построить график функции y = {|x|}.
№ 4 доп. (5.3 д) Построить график функции y = [x]².
№ 5 доп. (5.3 е) Построить график функции y = 1/[x].
№ 6 доп. (5.4 а) Проиллюстрируйте на графике справедливость равенства [0,5 - x] + [0,5 + x] при x ≠ 0,5 + k, k – целое.
№ 13 (5.9 а) Решите уравнение [x] ² – [x] =2.
№ 14 (5.9 б) Решите систему [x] = x, |x| ≤ 3.
№ 15 (5.9 г) Решите уравнение [3x - 8] + 5x = 4.
№ 7 доп. (5.9 д) Решите уравнение {2x + 3} - 6x = 0.
№ 8 доп. (5.9 е) Решите неравенство [x] > {x}.
№ 9 доп. (5.10 а) Изобразите на координатной плоскости фигуру, задаваемую уравнением {x} = {y}.
№ 16 (5.10 в) Изобразите на координатной плоскости фигуру, задаваемую уравнением |x| = [y ].
№ 17 (5.10 д) Изобразите на координатной плоскости фигуру, задаваемую неравенством y < {x}.
№ 18 (5.10 ж) Изобразите на координатной плоскости фигуру, задаваемую неравенством [x] ≤ [y].

[PSP]

ДЕЛО НА ФИНИШНОЙ ПРЯМОЙ, НО МНОГИЕ ВСЁ ЕЩЁ СПЯТ

На 10 апреля ситуация по задачам такова :

1 ) Оформленное решение получено от Маточинской Варвары.
2 ) Оформленное решение получено от Королёва Родиона.
3 ) Вместо Стрельца Александра оформленные решения прислали Еремеев Семён и Тюков Даниил.
4 ) Оформленное решение получено от Еремеева Семёна.
5 ) Вместо Крутелёва Кирилла оформленное решение прислал Тюков Даниил.
6 ) Оформленное решение получено от Тюкова Даниила.
7 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
8 ) Оформленное решение получено от Тюкова Даниила.
9 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
10 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
11 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
12 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
13 ) Оформленное решение получено от Тюкова Даниила.
14 ) Оформленное решение получено от Тюкова Даниила.
15 ) Оформленное решения получены от Павловой Людмилы и Тюкова Даниила
16 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
17 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
18 ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
1 доп. ) Оформленное решение получено от Ефимовой Кристины.
2 доп. ) Оформленное решение получено от Заболотского Дмитрия.
3 доп. ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
4 доп. ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
5 доп. ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
6 доп. ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.
7 доп. ) Оформленные решения получены от Павловой Людмилы и Тюкова Даниила.
8 доп. ) Оформленное решение получено от Тюкова Даниила.
9 доп. ) Оформленное решение получено от Павловой Людмилы.


МНЕНИЕ О ТОМ, ЧТО ЗАДАЧИ РЕШИТ COVID-19, ГЛУБОКО ОШИБОЧНО!

COVID-19_2_50.jpg (106.85 КБ) 15169 просмотров

[PSP]

ОДНИ ПАШУТ, ДРУГИЕ СКАЖУТ: "МЫ ПАХАЛИ"

Благодаря добросовестности одних (меньшинства) и вопреки лени других (большинства)
решения всех задач по теме № 6 ОФОРМЛЕНЫ.

Отдельный вопрос - качество этих решений...

ВНИМАНИЕ!

Каждый учащийся старшей гатчинской группы может НЕ ПОЗДНЕЕ 17 АПРЕЛЯ написать мне письмо с просьбой прислать оформленное решение какой-либо из задач. Я присылаю скан решения с указанием того, кто его оформлял, и его эл. адреса.

Вы проверяете решение и, как обычно:
- сообщаете мне, что всё верно;
- исправляете очевидные описки, недочёты, ошибки и отправляете мне откорретированное решение;
- в случае обнаружения принципиальных ошибок пишите письмо тому, кто оформлял решение,
и после обсуждения отправляете мне новое (исправленное) решение - это может сделать как
тот, кто его оформлял, так и проверяющий.

Мы пахали.jpg (66.38 КБ) 14947 просмотров

[PSP]

ПОКА ВСЕГО ТРОЕ

изъявили желание и получили для проверки по несколько решений задач из темы № 6.
Это Павлова Людмила, Титеева Нелли и Тюков Даниил.